作业辅导视频 SS2023-HW14：半波正弦信号的离散傅里叶变换

卓晴

950人浏览 · 2023-06-01 17:40:19

卓晴 · 2023-06-01 17:40:19 发布

半波离散序列的离散傅里叶变换

01 第十四次作业

一、习题简介

下面讨论一下这个题目的求解思路。

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二、习题求解

根据离散傅里叶变换公式，将序列 x[n] 代入公式，为了方便求解，利用欧拉公式将 sine 函数表示成一对共轭复指数的叠加，这样原来公式就变成了两个指数序列的累加。每个序列都是等比序列，根据等比序列累加和，写出累加结果。对于分子进行化简，可以得到第一项的暂时结果，使用同样的方法对于第二项进行化简。下面将两个分式叠通分，请注意，分子两项中，前面的因式实际上是 e 的 j Pi 次方，对应负一，这样它们都变成了 2，将它们合并起来，原表达式中还包含有 2 j 分之一，和下面表达式中的二分之一化简，对于分子，还可以提取出一个共同的因式， e 的负 j， N 分之 2k Pi，下面分母中也可以提取出同样的因子，将它们消掉。根据欧拉公式，可以将分子化简成 2j sine函数。和前面 j 分之一化简，得到简化后的分子。将剩下的分母展开，形成四个因式。根据欧拉公式，可以将它们都合并成cosine函数，下面再进行化简，最终可以得到化简后的结果。这是本小题求解的答案。这个题目并不困难，只是简单的复杂而已。

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这也验证了该公式的正确性。

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※ 总结 ※

本文推导了一个半波正弦波序列的离散傅里叶变换的结果。
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