【数据结构与算法】跳表实现详解
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Ⅰ. 前言
skiplist 是一种随机化的数据结构，基于并联的链表，实现简单，插入、删除、查找的复杂度均为 O(logN)（大多数情况下，因为是实现上是概率问题），因为其性能匹敌红黑树且实现较为简单，因此在很多著名项目都用 skiplist 来代替红黑树，例如 LevelDB、RocksDB、Redis 中的有序集合 zset 的底层存储结构就是用的 skiplist。
目前常用的 key-value 数据结构有三种：哈希表、红黑树、skiplist，它们各自有着不同的优缺点：
-
哈希表：插入、查找最快，为
O(1)；如使用链表实现则可实现无锁；数据有序化需要显式的排序操作，即哈希表是无序的。 -
红黑树：插入、查找为
O(logn)，但常数项较小；无锁实现的复杂性很高，一般需要加锁；数据天然有序。 -
skiplist：插入、查找为
O(logn)，但常数项比红黑树要大；底层结构为链表，可无锁实现；数据天然有序。
下面我们就着重来讲解一下 skiplist，以下是参考文案 （为了防止链接失效，大部分内容已经cv在文中，仅供参考！）：
Ⅱ. 跳表（skiplist）
一、什么是跳表
skiplist 本质上也是一种查找结构，是一个“概率型”的数据结构，用于解决算法中的查找问题，即根据给定的 key，快速查到它所在的位置（或者对应的 value ）。
跳表是在 1989 年由 William Pugh 发明的，作者时年 29 岁。skiplist 发明的 初衷是为了克服平衡树的一些缺点，比如平衡树在节点插入时，需要额外的进行的树的转枝，剪枝操作，才能够达到树的平衡。而 skiplist 借助于其独特的设计，在数据插入过程中，不需要额外的数据排序过程，只需要找到其需要插入位置的前置节点，即可插入，插入之后，依然保持数据结构的数据平衡。
他在论文《Skip lists: a probabilistic alternative to balanced trees》中详细介绍了跳表的数据结构和插入删除等操作。论文是这么介绍跳表的：
Skip lists are a data structure that can be used in place of balanced trees. Skip lists use probabilistic balancing rather than strictly enforced balancing and as a result the algorithms for insertion and deletion in skip lists are much simpler and significantly faster than equivalent algorithms for balanced trees.
翻译：跳表是一种可以用来代替平衡树的数据结构。跳表使用概率平衡而不是严格强制的平衡，因此，跳表中的插入和删除算法比平衡树的等效算法简单得多，速度也快得多。
二、跳表的发明历程
skiplist，顾名思义，首先它是一个 list。实际上，它是在有序链表的基础上发展起来的。如果是一个有序的链表，查找数据的时间复杂度是 O(N)。所以 William Pugh 开始想出了下面的优化思路：
- 假如我们每相邻两个节点升高一层，增加一个指针，让指针指向下下个节点，如下图所示中的 b。这样所有新增加的指针连成了一个新的链表，但它包含的节点个数只有原来的一半。由于新增加的指针，我们不再需要与链表中每个节点逐个进行比较了，需要比较的节点数大概只有原来的一半。
- 以此类推，我们可以在第二层新产生的链表上，继续为每相邻的两个节点升高一层，增加一个指针，从而产生第三层链表。如下图中的c，这样搜索效率就进一步提高了。
skiplist正是受这种多层链表的想法的启发而设计出来的。实际上，按照上面生成链表的方式，上面每一层链表的节点个数，是下面一层的节点个数的一半，这样查找过程就非常类似二分查找，使得查找的时间复杂度可以降低到O(log n)。但是这个结构在插入删除数据的时候有很大的问题，插入或者删除一个节点之后，就会打乱上下相邻两层链表上节点个数严格的2:1的对应关系。如果要维持这种对应关系，就必须把新插入的节点后面的所有节点（也包括新插入的节点）重新进行调整，这会让时间复杂度重新蜕化成O(n)。
skiplist的设计为了避免这种问题，做了一个大胆的处理，不再严格要求对应比例关系，而是插入一个节点的时候随机出一个层数。这样每次插入和删除都不需要考虑其他节点的层数，这样就好处理多了。细节过程入下图：
上图中插入 17 这个元素，其实就相当于是放了一堵墙，将 9 和 12 两个元素的指针挡住了，接到了 17 上面，这其实是不影响这些节点的，所以插入过程对其他节点是很稳定的！
♻️ 其中最底层的链表，即包含了所有元素节点的链表是 L1 层，或称基础层，基础层包括所有的元素。除此以外的所有链表层都称为跳跃层。
三、跳表的搜索方式
我们先来看一个有序链表，如下图（最左侧的灰色节点表示一个空的头结点）：
在这样一个链表中，如果我们要查找某个数据，那么需要从头开始逐个进行比较，直到找到包含数据的那个节点，或者找到第一个比给定数据大的节点为止（没找到）。也就是说，时间复杂度为 O(n)。同样，当我们要插入新数据的时候，也要经历同样的查找过程，从而确定插入位置。
假如我们每相邻两个节点增加一个指针，让指针指向下下个节点，如下图：
这样所有新增加的指针连成了一个新的链表，但它包含的节点个数只有原来的一半（上图中是7, 19, 26）。现在当我们想查找数据的时候，可以 先沿着这个新链表进行查找，当碰到比待查数据大的节点时，再回到原来的链表中进行查找（也就是向下走）。比如，我们想查找 23，查找的路径是沿着下图中标红的指针所指向的方向进行的：
23首先和7比较，再和19比较，比它们都大，继续向右比较。- 但
23和26比较的时候，比26要小，因此要向下走，与22比较。 23比22要大，继续向右和26比较。23比26小，说明待查数据23在原链表中不存在，而且它的插入位置应该在22和26之间。
后面若增加了高度，也是一样的遍历方法！
Ⅲ. skiplist的算法性能分析
一、理论准备
如果是第一次接触 skiplist，那么一定会产生一个疑问：节点插入时随机出一个层数，仅仅依靠这样一个简单的随机数操作而构建出来的多层链表结构，能保证它有一个良好的查找性能吗？为了回答这个疑问，我们需要分析 skiplist 的统计性能！
在分析之前，我们还需要着重指出的是，执行插入操作时计算随机数的过程，是一个很关键的过程，它对 skiplist 的统计特性有着很重要的影响。这并不是一个普通的服从均匀分布的随机数，它的计算过程如下：
- 首先，每个节点肯定都有第一层指针。
- 如果一个节点有第
i层 (i>=1) 指针（即节点已经在第1层到第i层链表中），那么它有第i + 1层指针的概率为p。 - 节点最大的层数不允许超过一个最大值，记为
MaxLevel。
这个计算随机层数的伪代码如下所示：
randomLevel() 的伪代码中包含两个参数，一个是 p，一个是 MaxLevel。在 Redis 的 skiplist 实现中，这两个参数的取值为：
p = 1/4
MaxLevel = 32
二、性能分析（了解即可，主要记结论）
根据前面 randomLevel() 的伪码，我们很容易看出，产生越高的节点层数，概率是越低的。定量的分析如下：
因此，一个节点的平均层数（也即包含的平均指针数目），计算如下：
现在很容易计算出：
- 当
p=1/2时，每个节点所包含的平均指针数目为2； - 当
p=1/4时，每个节点所包含的平均指针数目为1.33。这也是Redis里的skiplist实现在空间上的开销。
也可以看出了，我们 取的概率越小，那么产生越高节点的层数的几率就越小！可能有点抽象，画个图帮助理解一下：
接下来，为了分析时间复杂度，我们计算一下 skiplist 的平均查找长度。查找长度指的是查找路径上跨越的跳数，而查找过程中的比较次数就等于查找长度加 1。以前面图中标出的查找 23 的查找路径为例，从左上角的头结点开始，一直到结点 22，查找长度为 6。
我们注意到，每个节点插入的时候，它的层数是由随机函数 randomLevel() 计算出来的，而且随机的计算不依赖于其它节点，每次插入过程都是完全独立的。所以，从统计上来说，一个 skiplist 结构的形成与节点的插入顺序无关。
这样的话，为了计算查找长度，我们可以将查找过程倒过来看，从右下方第 1 层上最后到达的那个节点开始，沿着查找路径向左向上回溯，类似于爬楼梯的过程。我们假设当回溯到某个节点的时候，它才被插入，这虽然相当于改变了节点的插入顺序，但从统计上不影响整个 skiplist 的形成结构。
现在假设我们从一个 层数i 的 节点x 出发，需要向左向上攀爬 k层。这时我们有两种可能：
- 如果节点
x有第i+1层指针，那么我们需要向上走。这种情况概率为p。 - 如果节点
x没有第i+1层指针，那么我们需要向左走。这种情况概率为1-p。
这两种情形如下图所示：
用 C(k) 表示向上攀爬 k 个层级所需要走过的平均查找路径长度（概率期望），那么：
代入，得到一个差分方程并化简：
这个结果的意思是，我们每爬升 1 个层级，需要在查找路径上走 1/p 步。而我们总共需要攀爬的层级数等于整个 skiplist的总层数 - 1。
那么接下来我们需要分析一下当 skiplist 中有 n 个节点的时候，它的总层数的概率均值是多少。这个问题直观上比较好理解。根据节点的层数随机算法，容易得出：
所以，从第 1 层到最高层，各层链表的平均节点数是一个指数递减的等比数列。容易推算出，总层数的均值为
l
o
g
1
/
p
n
log_{1/p}n
log1/pn，而最高层的平均节点数为 1/p。
综上，粗略来计算的话，平均查找长度约等于：
- C( l o g 1 / p n − 1 log_{1/p}n-1 log1/pn−1) = ( l o g 1 / p n − 1 log_{1/p}n-1 log1/pn−1) / p
即，平均时间复杂度为 O(log n)。
当然，这里的时间复杂度分析还是比较粗略的。比如，沿着查找路径向左向上回溯的时候，可能先到达左侧头结点，然后沿头结点一路向上；还可能先到达最高层的节点，然后沿着最高层链表一路向左。但这些细节不影响平均时间复杂度的最后结果。另外，这里给出的时间复杂度只是一个概率平均值，但实际上计算一个精细的概率分布也是有可能的。
Ⅳ. skiplist与平衡树、哈希表的比较
如果要实现一个 key-value 结构，需求的功能有插入、查找、迭代、修改，那么首先 Hash 表就不是很适合了，因为哈希表迭代的时间复杂度比较高；而红黑树的插入很可能会涉及多个结点的旋转、变色操作，因此需要在外层加锁，这无形中降低了它可能的并发度。而 skiplist 底层是用链表实现的，可以实现为 无锁，同时它还有着不错的性能（单线程下只比红黑树略慢），非常适合用来实现我们需求的那种 key-value 结构。
下列是它们的优缺点总结：
skiplist和各种平衡树（如AVL、红黑树等）的元素都是有序排列的，而哈希表不是有序的。因此，在哈希表上只能做单个key的查找，不适宜做范围查找。所谓范围查找，指的是查找那些大小在指定的两个值之间的所有节点。- 在 范围查找的时候，平衡树比
skiplist操作要复杂。在平衡树上，我们找到指定范围的小值之后，还需要以中序遍历的顺序继续寻找其它不超过大值的节点。如果不对平衡树进行一定的改造，这里的中序遍历并不容易实现。而在skiplist上进行范围查找就非常简单，只需要在找到小值之后，对第一层链表进行若干步的遍历就可以实现。 - 平衡树的插入和删除操作可能引发子树的调整，逻辑复杂，且性能会下降，而
skiplist的插入和删除只需要修改相邻节点的指针，操作简单又快速。 - 从内存占用上来说，
skiplist比平衡树更灵活一些。一般来说，平衡树每个节点包含2个指针（分别指向左右子树），而skiplist每个节点包含的指针数目平均为1/(1-p)，具体取决于参数p的大小。如果像Redis里的实现一样，取p=1/4，那么平均每个节点包含1.33个指针，比平衡树更有优势。 - 查找单个
key，skiplist和平衡树的时间复杂度都为O(log n)，大体相当；而 哈希表在保持较低的哈希值冲突概率的前提下，查找时间复杂度接近O(1)，性能更高一些。所以我们平常使用的各种Map或dictionary结构，大都是基于哈希表实现的。 - 从算法实现难度上来比较，
skiplist比 平衡树 要简单得多。
Ⅴ. skiplist的实现
设计跳表
一、节点的搭建
首先，设计 skiplist 最重要的就是选择用什么数据结构来存储。
在 SkiplistNode 中当然还是比较明显的，因为 skiplist 是基于链表产生，那么我们肯定得 用到链表的结构；除此之外，为了实现多层高度的节点，我们可以用数组，数组中存放的是下一个节点的指针，数组的长度就是节点的高度！
而 Skiplist 中我们设计一个头节点 _head，头节点内数组的高度就是整个 skiplist 的最大高度，这个需要实时变化的！并且用一个变量 _maxLevel 来代表我们可以达到的最大高度，默认为 32。
struct SkiplistNode
{
int _val; // 节点的值
vector<SkiplistNode*> _nextV; // 存储下一个节点的数组
SkiplistNode(int val, int level)
:_val(val), _nextV(level, nullptr)
{}
};
class Skiplist
{
typedef SkiplistNode Node;
public:
Skiplist()
{
_head = new Node(-1, 1); // 默认初始值为-1，高度为1
}
private:
Node* _head; // 头节点指针
int _maxLevel = 32; // 节点的最高层数
double _p = 0.25; // 生成高一层的概率
};
二、生成概率高度函数RandomLevel()
上面讲到的要生成一个概率高度，其实不难，我们可以用c语言中的随机数函数 rand() 配合我们给的 _p，也可以用 C++ 中一些关于随机数的库，可以用其正态分布或者一些随机数函数等 ，不过经过测试，当数据量大的时候，C++ 中随机数的函数会更加接近概率；而数据量小的时候，两者区别是不大，且c语言的随机数函数占用内存比较小！
下面两种都给出实现：
// c语言版本
int RandomLevel()
{
int level = 1;
// rand()的范围在[0, RAND_MAX]之间
while(rand() <= RAND_MAX*_p && level < _maxLevel)
{
level++;
}
return level;
}
// c++版本
int RandomLevel()
{
static std::default_random_engine generator(std::chrono::system_clock::now().time_since_epoch().count());
static std::uniform_real_distribution<double> distribution(0.0, 1.0);
int level = 1;
while (distribution(generator) <= _p && level < _maxLevel)
{
level++;
}
return level;
}
三、查找函数search()
我们已经在上面讲过了跳表的搜索方式了，其实就是从头节点的最上方（也就是头节点数组的尾部）开始与下一个节点比较，这里列出比较的细节：
- 若节点数组该位置
_nextV[level]为空，说明该位置的下一个节点为空，则 直接向下跳 - 若节点数组该位置
_nextV[level]不为空，则与下一个节点进行比较：- 若比下一个节点的值小，则向下跳
- 若比下一个节点的值大，则向右跳
- 若和下一个节点的值相等，则返回
true即可
- 循环查找，直到
level为-1，也就是出界了则结束，说明没找到节点，返回false（level代表目前所在的层数）
🔴 要注意的是我们查找遍历的时候，肯定也是 需要一个 cur 指针来指向当前走到的节点 的！
以下图为例，查找 21 的过程如下：
若是查找 23，那么过程如下：
bool search(int target)
{
Node* cur = _head;
int level = _head->_nextV.size() - 1; // 目前的最高层数在数组中的位置
while(level >= 0)
{
// 1、该位置的下一个节点不为空，且下一个节点的值小于target，则向右跳
// 2、该位置为空或者下一个节点的值大于target，则向下跳
// 3、剩下的情况就是找到了，返回true即可
if(cur->_nextV[level] != nullptr && target > cur->_nextV[level]->_val)
{
cur = cur->_nextV[level];
}
else if(cur->_nextV[level] == nullptr || target < cur->_nextV[level]->_val)
{
// 向下跳就是将level--
level--;
}
else
{
// 找到了返回true
return true;
}
}
return false;
}
四、插入函数add()
插入就稍微比较复杂了一点，因为我们不只是要插入节点，我们还要将节点的前后指针链接起来，而关键的解题点就是 要找到插入位置的每一层的前一个节点，以下是思路：
- 与
search()一样，遍历查找要插入的位置，也就是level < 0时出界时候cur指针的位置 - 在遍历时候的一个关键细节，就是 将每次比我们要插入的值
num小或下一个节点为空的位置记录下来保存到一个新的节点数组_preV，因为既然它比num小，那么它这个层数的指针就会被num挡住（除非新插入节点的高度小于该位置的高度）。不断循环遍历直到找到了要插入的位置 - 找到插入的位置之后，先利用
RandomLevel()函数产生概率高度，然后构造新节点newnode - 将
_preV中的前驱节点与newnode节点 按层数将它们的前后链接起来 ，为什么说是按层数链接起来呢？因为每一层只会链接一个节点，所以有几层就会链接多少次，且是天然按照顺序来的！
如上图中红圈圈出来的就是这些比 37 小的位置，记录到 _preV 中！
因为下面的删除函数erase()，也需要进行遍历，所以我们将其中的遍历记录前驱节点的操作独立出来成一个函数 FindPrevNode()。
vector<Node*> FindPrevNode(int num)
{
Node* cur = _head;
int level = _head->_nextV.size() - 1; // 目前的最高层数在数组中的位置
vector<Node*> _preV(level+1, nullptr); // 用于记录前驱节点，注意高度是level+1
while(level >= 0)
{
// 与search()类似，只不过找到比num小的时候记录一下这些位置
if(cur->_nextV[level] != nullptr && num > cur->_nextV[level]->_val)
{
cur = cur->_nextV[level];
}
else if(cur->_nextV[level] == nullptr || num <= cur->_nextV[level]->_val)
{
// 将该位置的指针记录到_preV中
_preV[level] = cur;
// 向下跳就是将level--
level--;
}
}
return _preV;
}
void add(int num)
{
vector<Node*> preV = FindPrevNode(num);
// 找到了插入位置后，构造新节点
int n = RandomLevel();
Node* newnode = new Node(num, n);
// 判断一下新节点的高度是否大于目前高度，会的话更新头节点的高度
if(n > _head->_nextV.size())
{
_head->_nextV.resize(n, nullptr);
preV.resize(n, _head);
}
// 将前后指针链接起来
for(size_t i = 0; i < n; ++i)
{
newnode->_next[i] = preV[i]->_nextV[i];
preV[i]->_nextV[i] = newnode;
}
}
五、删除函数erase()
删除的大体思路也是不难的，最主要的也是得找出要删除节点的前驱节点集合，将前驱节点指向删除节点的后继节点，还要注意的判断一下删除完这个节点后该高度是否整体变低了，是的话要调整一下头节点的高度（因为头节点的高度代表整个跳表的高度）！
- 遍历跳表 找到要删除的节点，遍历的 同时将那些值比
num小的节点记录到数组preV中，过程和插入函数是类似的，直接利用FindPrevNode()函数实现即可 - 将要删除节点的前驱节点集合与删除节点的后继节点链接起来
- 遍历头节点判断一下是否删除节点后整体高度变低，只需要判断
_head->_nextv[level]是否为空，是的话说明变低了，则降低高度，直到不为空。
bool erase(int num)
{
// 找到前驱节点集合
vector<Node*> preV = FindPrevNode(num);
// 此时最底层的前驱节点的下一个节点就是要删除的节点
Node* del = preV[0]->_nextV[0];
// 判断一下删除节点del是否为空或者值是否为num，不是则直接返回false
if(del == nullptr || del->_val != num)
{
return false;
}
else
{
// 将前驱节点链接del的后继节点
for(size_t i = 0; i < del->_nextV.size(); ++i)
preV[i]->_nextV[i] = del->_nextV[i];
// 判断一下是否需要降低整体高度
int i = _head->_nextV.size() - 1;
while (i >= 0)
{
if (_head->_nextV[i] == nullptr)
--i;
else
break;
}
_head->_nextV.resize(i + 1);
delete del;
return true;
}
}
Ⅵ. 关于Redis中的一些拓展知识
在 Redis 中，skiplist 被用于实现暴露给外部的一个数据结构：sorted set。准确地说，sorted set 底层不仅仅使用了 skiplist，还使用了 ziplist 和 dict。
- 当数据较少时，
sorted set是由一个ziplist来实现的。 - 当数据多的时候，
sorted set是由一个dict加上一个skiplist来实现的。简单来讲，dict用来查询数据到分数的对应关系，而skiplist用来根据分数查询数据（可能是范围查找）。
🈂️ Redis为什么用skiplist而不用平衡树？
- 它们不太需要记忆。这基本上取决于你。改变关于节点具有给定数量级别的概率的参数将使其比
btrees的 内存占用更少。 - 排序集通常是许多
ZRANGE或ZREVRANGE操作的目标，也就是说，将跳表作为链表遍历。使用此操作，跳表的缓存位置至少与其他类型的平衡树一样好。 - 跳表更易于实现、调试等。
附加：整体代码
struct SkiplistNode
{
int _val; // 节点的值
vector<SkiplistNode*> _nextV; // 存储下一个节点的数组
SkiplistNode(int val, int level)
:_val(val), _nextV(level, nullptr)
{}
};
class Skiplist
{
typedef SkiplistNode Node;
public:
Skiplist()
{
_head = new Node(-1, 1); // 默认初始值为-1，高度为1
// c语言中需要改一下时间种子
srand(time(0));
}
bool search(int target)
{
Node* cur = _head;
int level = _head->_nextV.size() - 1; // 目前的最高层数在数组中的位置
while(level >= 0)
{
// 1、该位置的下一个节点不为空，且下一个节点的值小于target，则向右跳
// 2、该位置为空或者下一个节点的值大于target，则向下跳
// 3、剩下的情况就是找到了，返回true即可
if(cur->_nextV[level] != nullptr && target > cur->_nextV[level]->_val)
{
cur = cur->_nextV[level];
}
else if(cur->_nextV[level] == nullptr || target < cur->_nextV[level]->_val)
{
// 向下跳就是将level--
level--;
}
else
{
// 找到了返回true
return true;
}
}
return false;
}
vector<Node*> FindPrevNode(int num)
{
Node* cur = _head;
int level = _head->_nextV.size() - 1; // 目前的最高层数在数组中的位置
vector<Node*> _preV(level+1, _nullptr); // 用于记录前驱节点，注意高度是level+1
while(level >= 0)
{
// 与search()类似，只不过找到比num小的时候记录一下这些位置
if(cur->_nextV[level] != nullptr && num > cur->_nextV[level]->_val)
{
cur = cur->_nextV[level];
}
else if(cur->_nextV[level] == nullptr || num <= cur->_nextV[level]->_val)
{
// 将该位置的指针记录到_preV中
_preV[level] = cur;
// 向下跳就是将level--
level--;
}
}
return _preV;
}
void add(int num)
{
// 找到前驱节点集合
vector<Node*> preV = FindPrevNode(num);
// 找到了插入位置后，构造新节点
int n = RandomLevel();
Node* newnode = new Node(num, n);
// 判断一下新节点的高度是否大于目前高度，会的话更新头节点的高度
if(n > _head->_nextV.size())
{
_head->_nextV.resize(n, nullptr);
preV.resize(n, _head);
}
// 将前后指针链接起来
for(size_t i = 0; i < n; ++i)
{
newnode->_nextV[i] = preV[i]->_nextV[i];
preV[i]->_nextV[i] = newnode;
}
}
bool erase(int num)
{
// 找到前驱节点集合
vector<Node*> preV = FindPrevNode(num);
// 此时最底层的前驱节点的下一个节点就是要删除的节点
Node* del = preV[0]->_nextV[0];
// 判断一下删除节点del是否为空或者值是否为num，不是则直接返回false
if(del == nullptr || del->_val != num)
{
return false;
}
else
{
// 将前驱节点链接del的后继节点
for(size_t i = 0; i < del->_nextV.size(); ++i)
preV[i]->_nextV[i] = del->_nextV[i];
// 判断一下是否需要降低整体高度
int i = _head->_nextV.size() - 1;
while (i >= 0)
{
if (_head->_nextV[i] == nullptr)
--i;
else
break;
}
_head->_nextV.resize(i + 1);
delete del;
return true;
}
}
int RandomLevel()
{
int level = 1;
// rand()的范围在[0, RAND_MAX]之间
while(rand() <= RAND_MAX*_p && level < _maxLevel)
{
level++;
}
return level;
}
/*
int RandomLevel()
{
static std::default_random_engine generator(std::chrono::system_clock::now().time_since_epoch().count());
static std::uniform_real_distribution<double> distribution(0.0, 1.0);
size_t level = 1;
while (distribution(generator) <= _p && level < _maxLevel)
{
++level;
}
return level;
}*/
private:
Node* _head; // 头节点指针
int _maxLevel = 32; // 节点的最高层数
double _p = 0.25; // 生成高一层的概率
};
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