1 << i 将1左移 i 位，得到一个只有第 i+1 位为1的数。
n & ~(1 << i) 将 n 的第 i+1 位清零。
m & (1 << i) 从 m 中提取第 i+1 位的值。
(n & ~(1 << i)) | (m & (1 << i)) 将 n 的第 i+1 位替换为 m 的第 i+1 位。
return n ^ (1 << i); 第i位取反

C++位操作

:是处理整数数据类型中位的逻辑操作。以下是一些常用的位操作符及其含义：

1. 按位取反 (~)：

   • 操作符：~
   • 功能：对操作数的每一位取反，即将0变为1，将1变为0。
   • 例子：~0b1010 结果为 0b0101。

2. 按位与 (&)：

   • 操作符：&
   • 功能：对两个操作数的每一位进行与操作，只有当两位都是1时，结果才为1。
   • 例子：0b1010 & 0b1100 结果为 0b1000。

3. 按位或 (|)：

   • 操作符：|
   • 功能：对两个操作数的每一位进行或操作，只要有一位是1，结果就为1。
   • 例子：0b1010 | 0b1100 结果为 0b1110。

4. 按位异或 (^)：

   • 操作符：^
   • 功能：对两个操作数的每一位进行异或操作，只有当两位不同的时候，结果才为1。
   • 例子：0b1010 ^ 0b1100 结果为 0b0110。

5. 左移 (<<)：

   • 操作符：<<
   • 功能：将操作数的每一位向左移动指定的位数，左边空出的位填充0。
   • 例子：0b1010 << 2 结果为 0b101000。

6. 右移 (>>)：

   • 操作符：>>
   • 功能：将操作数的每一位向右移动指定的位数，右边空出的位填充0（对于有符号数，通常是填充符号位）。
   • 例子：0b1010 >> 2 结果为 0b001。

7. 位清零 (&=)：

   • 功能：将操作数与另一个操作数进行按位与操作，并将结果赋值给第一个操作数。
   • 例子：如果 n = 0b1010，执行 n &= 0b1100 后，n 的值变为 0b1000。

8. 位设置 (|=)：

   • 功能：将操作数与另一个操作数进行按位或操作，并将结果赋值给第一个操作数。
   • 例子：如果 n = 0b1010，执行 n |= 0b1100 后，n 的值变为 0b1110。

9. 位异或赋值 (^=)：

   • 功能：将操作数与另一个操作数进行按位异或操作，并将结果赋值给第一个操作数。
   • 例子：如果 n = 0b1010，执行 n ^= 0b1100 后，n 的值变为 0b0110。

10. 位左移赋值 (<<=)：

    • 功能：将操作数左移指定的位数，并将结果赋值给操作数。
    • 例子：如果 n = 0b1010，执行 n <<= 2 后，n 的值变为 0b101000。

11. 位右移赋值 (>>=)：

    • 功能：将操作数右移指定的位数，并将结果赋值给操作数。
    • 例子：如果 n = 0b1010，执行 n >>= 2 后，n 的值变为 0b001。

这些操作在处理二进制数据、优化算法性能等方面非常有用。

C++位操作符的优先级

，这决定了在表达式中它们被计算的顺序。以下是一些常见运算符的优先级，从高到低排序：

1. 后缀运算符：

   • 函数调用 ()
   • 子数组访问 []
   • 后缀递增/递减 ++ --
   • 成员访问 . ->

2. 一元运算符：

   • 逻辑非 !
   • 按位取反 ~
   • 负号 -（包括位扩展）
   • 正号 +
   • 递增/递减 ++ --（前缀）

3. 乘除和模运算符：

   • 乘法 *
   • 除法 /
   • 模运算 %

4. 加减运算符：

   • 加法 +
   • 减法 -

5. 位移运算符：

   • 左移 <<
   • 右移 >>

6. 关系运算符：

   • 大于 >
   • 小于 <
   • 大于等于 >=
   • 小于等于 <=

7. 相等和不等运算符：

   • 等于 ==
   • 不等于 !=

8. 位与 &

9. 位异或 ^

10. 位或 |

11. 逻辑与 &&

12. 逻辑或 ||

13. 条件运算符（三元运算符）：

    • 条件运算符 ?:

14. 赋值运算符：

    • 简单赋值 =
    • 复合赋值 += -= *= /= %= <<= >>= &= ^= |=

15. 逗号运算符：

    • 逗号 ,

了解这些优先级可以帮助你正确地编写和理解复杂的表达式，并在必要时使用括号来改变计算顺序。

例如：

int a = 5, b = 3;
int result = a + b * 2 >> 1;

在这个表达式中，乘法 b * 2 首先被计算，然后是右移 >>，最后是加法 +。这是因为乘法和除法的优先级高于加法和减法，而位移运算符的优先级高于它们。

位操作符的组合及其数学原理

1. 清除特定位

• 操作符：&=
• 数学原理：
  • 按位与操作（AND）：对于两个位，只有当两个位都是1时，结果才为1，否则为0。
  • 掩码：一个特定位为0，其余位为1的数。使用掩码与原数进行按位与操作，可以清除掩码中为0的位。
  • 例子：n &= 0b1111（十进制15）将清除n的第5位及更高位。

2. 设置特定位

• 操作符：|=
• 数学原理：
  • 按位或操作（OR）：对于两个位，只要有一个位是1，结果就为1，否则为0。
  • 掩码：一个特定位为1，其余位为0的数。使用掩码与原数进行按位或操作，可以设置掩码中为1的位。
  • 例子：n |= 0b1000（十进制8）将设置n的第4位为1。

3. 切换特定位

• 操作符：^=
• 数学原理：
  • 按位异或操作（XOR）：对于两个位，如果两个位相同则结果为0，不同则结果为1。
  • 掩码：一个特定位为1，其余位为0的数。使用掩码与原数进行按位异或操作，可以切换掩码中为1的位。
  • 例子：n ^= 0b1000将切换n的第4位。

4. 提取特定位

• 操作符：&
• 数学原理：
  • 按位与操作：用于提取特定位的值。通过与掩码进行按位与操作，可以提取掩码中为1的位的值。
  • 掩码：一个特定位为1，其余位为0的数。使用掩码与原数进行按位与操作，可以提取掩码对应位的值。
  • 例子：n & 0b1000提取n的第4位。

5. 填充特定位

• 操作符：|
• 数学原理：
  • 按位或操作：用于填充特定位的值。通过与掩码进行按位或操作，可以填充掩码中为1的位。
  • 掩码：一个特定位为1，其余位为0的数。使用掩码与原数进行按位或操作，可以填充掩码对应位的值。
  • 例子：n | 0b1000将n的第4位及更高位填充为1。

6. 获取补码

• 操作符：~
• 数学原理：
  • 按位取反操作：将一个数的每一位取反，即将0变为1，将1变为0。
  • 补码：在计算机中，负数通常以补码的形式存储。对于有符号整数，取反操作可以获取其补码。
  • 例子：~n获取n的补码。

7. 创建掩码

• 操作符：~
• 数学原理：
  • 按位取反操作：通过取反操作创建一个掩码，其中除了某些特定位为0外，其他位均为1。
  • 掩码：一个特定位为0，其余位为1的数。使用取反操作可以创建这样的掩码。
  • 例子：~(1 << i)创建一个掩码，其中第i+1位为0，其他位为1。

8. 左移填充

• 操作符：<<=
• 数学原理：
  • 左移操作：将一个数的每一位向左移动指定的位数，左边空出的位填充0。
  • 位扩展：左移操作可以用于将一个数的值乘以2的幂。
  • 例子：n <<= 2将n左移2位。

9. 右移填充

• 操作符：>>=
• 数学原理：
  • 右移操作：将一个数的每一位向右移动指定的位数，右边空出的位填充0（对于有符号数，通常是符号位）。
  • 位扩展：右移操作可以用于将一个数的值除以2的幂。
  • 例子：n >>= 2将n右移2位。

10. 获取符号位

• 操作符：>>
• 数学原理：
  • 右移操作：通过右移操作获取一个数的符号位。对于有符号整数，符号位是最高位。
  • 符号扩展：右移操作可以用于获取一个数的符号。
  • 例子：n >> 31获取n的符号位（对于32位整数）。

11. 交换两个数

• 操作符：^=, |=, &=
• 数学原理：
  • 按位异或操作：通过异或操作可以交换两个数的值，而不需要使用额外的变量。
  • 步骤：
    1. n ^= m 将n和m的值异或，结果存储在n中。
    2. m ^= n 将m和上一步的结果异或，结果存储在m中，此时m的值变为原始的n。
    3. n ^= m 将n和上一步的结果异或，结果存储在n中，此时n的值变为原始的m。
  • 例子：

    n ^= m;
    m ^= n;
    n ^= m;
    

12. 判断奇偶性

• 操作符：&
• 数学原理：
  • 按位与操作：通过与1进行按位与操作可以判断一个数的奇偶性。
  • 奇偶性：一个数的最低位（LSB）决定了它的奇偶性。奇数的最低位为1，偶数的最低位为0。
  • 例子：n & 1 如果结果为1，则n是奇数；如果结果为0，则n是偶数。

这些位操作符的组合在计算机科学和数字逻辑中非常有用，尤其是在需要高效地处理位级数据时。