一、 鹰鱼优化算法

鹰鱼优化算法（HawkFish Optimization Algorithm，HFOA）是2025年提出的一种新颖的元启发式优化算法，灵感来源于鹰鱼的性别转换行为。该算法通过引入双适应度函数、动态聚类和视觉范围调整等机制，有效平衡了搜索空间的探索和开发，避免了局部最优解的陷入，提高了优化效率和解的质量。算法在解决复杂优化问题时表现出色，优于其他传统优化算法。

数学模型

鹰鱼优化算法的数学模型主要基于鹰鱼的性别转换行为和觅食行为。算法中，每个个体（人工鱼）的位置、适应度值、移动方式等都通过数学公式进行描述。

性别转换模型

设$p(t)$表示在时间$t$时种群中雌性的比例，$q(t)$表示雄性的比例：

$$p(t)+q(t)=1$$

初始时，假设所有鹰鱼都是雌性，因此$p(0)=1$且$q(0)=0$。

设$d(t)$表示在时间$t$时的食物可用性，其中$d(t)>0$表示食物充足，$d(t)=0$表示没有食物。

雌性比例的变化率可以表示为：

$$\frac{dp}{dt}=-a\times p\times (1-d(t))$$

其中，$a$是一个表示性别变化率的常数。

雄性比例的变化率可以表示为：

$$\frac{dq}{dt}=a\times p\times (1-d(t))$$

适应度函数

在优化问题中，适应度函数用于评估个体的优劣。对于最小化问题，适应度函数可以定义为：

$$fitness(x)=f(x)$$

个体移动模型

每个个体的移动由以下公式决定：

$$x(i,j)=x(i,j)+s(i,j)\times d(i,j)$$

其中，$x(i,j)$是第$i$条鱼的第$j$个位置元素，$s(i,j)$是第$i$条鱼的步长，$d(i,j)$是第$i$条鱼的方向向量元素。

动态聚类

计算种群中个体之间的距离矩阵$D$，其中$D(i,j)$表示第$i$条鱼和第$j$条鱼之间的距离。然后使用基于欧几里得距离的聚类算法将种群划分为$k$个聚类$C_1,C_2,\dots ,C_k$。

学习机制

每个个体在子种群内向邻居学习，更新位置的公式为：

$$x(i,j)=x(i,j)+w\times (x(j_{best},j)-x(i,j))$$

其中，$x(j_{best},j)$是子种群中最佳个体的第$j$个位置元素，$w$是学习系数。

步长和方向向量更新

步长和方向向量的更新公式为：

$$s(i,j)=s(i,j)+\alpha \times r\times (x_{global}(j)-x(i,j))$$

$$d(i,j)=d(i,j)+\beta \times r\times (x(i,j)-x_{local}(j))$$

其中，$\alpha$和$\beta$是学习系数，$r$是0到1之间的随机数，$x_{global}(j)$是全局最佳个体的第$j$个位置元素，$x_{local}(j)$是局部最佳个体的第$j$个位置元素。

算法流程

1. 初始化参数：种群大小$N$、维度$n$、子种群数$k$、全局学习系数$\alpha$、局部学习系数$\beta$、子种群学习系数$w$、最大迭代次数$max\_iterations$。
2. 在搜索空间中随机初始化人工鱼种群。
3. 对于每次迭代：
   • 使用两个适应度函数$f_1(x)$和$f_2(x)$评估每条鱼的适应度。
   • 根据适应度更新每条鱼的位置。
   • 移动后重新评估每条鱼的适应度。
   • 将种群聚类成$k$个子种群以增加多样性。
   • 在每个子种群内执行鱼学习。
   • 更新每条鱼的步长和方向向量。
4. 返回找到的全局最佳解。

算法描述

鹰鱼优化算法是一种受鹰鱼性别转换行为启发的元启发式优化算法。算法通过模拟鹰鱼的觅食行为和性别转换，动态调整种群中的个体角色和搜索策略，以平衡探索和开发，避免局部最优，提高优化效率。

动态性别转换策略

根据食物可用性$F$与预定义阈值$F_{threshold}$的比较，动态改变每条鱼的性别。如果$F>F_{threshold}$，则改变鱼的性别（例如，雄性变为雌性，反之亦然）。

视觉范围调整

为雄性和雌性子种群分配独特的视觉范围$V_{male}$和$V_{female}$。在评估适应度和更新位置时，每条鱼仅考虑其对应视觉范围内的其他鱼。

位置更新

使用以下公式更新每条鱼的位置：

$$x_f(t+1)=x_f(t)+step\_size\times (x_{center}-x_f(t))$$

其中，$x_f(t)$是鱼$f$在迭代$t$时的位置，$step\_size$是预定义参数，$x_{center}$是对应子种群的中心位置。

中心位置计算

子种群$P_{male}$或$P_{female}$的中心位置计算公式为：

$$x_{center}=\frac{1}{\Vert P_{male}\Vert \text{或}\Vert P_{female}\Vert }\times \sum x_j$$

其中，$x_j$是相应子种群中第$j$条鱼的位置。

邻居搜索

在视觉范围内寻找邻居鱼$N_f$，并根据最佳邻居鱼$x_{nbest}$更新鱼$f$的位置：

$$x_f(t+1)=x_f(t)+step\_size\times (x_{nbest}-x_f(t))$$

二、23个函数介绍

参考文献：

[1] Yao X, Liu Y, Lin G M. Evolutionary programming made faster[J]. IEEE transactions on evolutionary computation, 1999, 3(2):82-102.

三、部分代码及结果

clear;
clc;
close all;
warning off all;

SearchAgents_no=50;    %Number of search solutions
Max_iteration=500;    %Maximum number of iterations

Func_name='F1'; % Name of the test function

% Load details of the selected benchmark function
[lb,ub,dim,fobj]=Get_F(Func_name); 

tic;
[Best_score,Best_pos,cg_curve]=(SearchAgents_no,Max_iteration,lb,ub,dim,fobj); 
tend=toc;

% figure('Position',[500 500 901 345])
%Draw search space
subplot(1,2,1);
func_plot(Func_name);
title('Parameter space')
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel([Func_name,'( x_1 , x_2 )'])

%Draw objective space
subplot(1,2,2);
semilogy(cg_curve,'Color','m',LineWidth=2.5)
title(Func_name)

% title('Objective space')
xlabel('Iteration');
ylabel('Best score obtained so far');

axis tight
grid on
box on
legend('')

display(['The running time is:', num2str(tend)]);
display(['The best fitness is:', num2str(Best_score)]);
display(['The best position is: ', num2str(Best_pos)]);

四、完整MATLAB代码见下方名片