整数规划——第七章 分支定界算法

目前大部分整数规划商业软件如CPLEX，Gurobi和BARON等都是基于分枝定界算法框架的。

7.1 最优性条件和界

考虑下列一般线性整数规划问题：
$$\text{(IP)}\begin{array}{rl}& \min c^{T}x,\\ & s.t.Ax\le b,\\ & x\in {\mathbb{Z}}_{+}^n\end{array}\text{\hspace{1em}(7.1)}$$
其中 ${\mathbb{Z}}_{+}^n$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中的非负整数集合，给定（IP）的可行点 $x^{\ast }$ ，如何验证 $x^{\ast }$ 是（IP）的最优解？

设 $f^{\ast }$ 是（IP）的最优值，假设可以产生 $f^{\ast }$ 的下界序列满足：
$${\underline{f}}_1\le {\underline{f}}_2\le \cdots {\underline{f}}_k\le \cdots \le f^{\ast },$$
同时可以产生 $f^{\ast }$ 的上界序列满足
$${\overline{f}}_1\ge {\overline{f}}_2\ge \cdots \ge {\overline{f}}_k\ge \cdots \ge f^{\ast }$$
若 ${\overline{f}}_k-{\underline{f}}_k\le \epsilon$ 对一个很小的 $\varepsilon \ge 0 $ 成立，则显然有
$$f^{\ast }-\epsilon \le {\underline{f}}_k\le f^{\ast }$$
问题（IP）的任何可行解 $x^k$ 都对应 $f^{\ast }$ 的一个上界 $f(x^k)={\overline{f}}_k$，若 ${\overline{f}}_k-{\underline{f}}_k\le \epsilon >0$，则 $x^k$ 是一个 $\epsilon$ 近似最优解，显然有如下定理：

定理7.1 设 {f‾k}\{\overline f_k\}{f​k​} 和 {f‾k}\{\underline f_k\}{f​k​} 是 $f^{\ast }$ 的上界序列和下界序列，若 ${\overline{f}}_k-{\underline{f}}_k=0$ 且 $x^k$ 是（IP）的可行解，$f(x^k)={\overline{f}}_k$，则 $x^k$ 是（IP）的最优解。

常用的求线性整数规划问题下界的方法有两种：线性规划松弛和对偶松弛。

定义7.1 线性规划
$$\text{(LP)}\begin{array}{rl}& \min c^{T}x,\\ & s.t.Ax\le b,\\ & x\in {\mathbb{R}}_{+}^n\end{array}$$
成为整数规划（7.1）的线性规划松弛，也称为（LP）的连续松弛。

显然，（LP）的最优值总是（IP）的最优值的一个下界，易证下列性质：

定理7.2

1. 若（LP）不可行，则（IP）也不可行；
2. 设 $x^{\ast }$是（LP）的最优解且 $x^{\ast }\in {\mathbb{Z}}^n$,则 $x^{\ast }$也是（IP）的最优解.

拉格朗日对偶松弛是另一种很有用的定界方法。考虑下面的整数规划问题：
$$\text{(IP)}\begin{array}{rl}& \min c^{T}x,\\ & s.t.Ax\le b,\\ & x\in X\end{array}\text{\hspace{1em}(7.2)}$$
此处 $X$ 是一个整数集合，如 X={0,1}n，X={x∈Zn ∣ l≤x≤u}X=\{0,1\}^n，X=\{x\in \Z^n\ |\ l\le x\le u\}X={0,1}n，X={x∈Zn ∣ l≤x≤u}。设 $\lambda \in {\mathbb{R}}_{+}^m$，考虑朗格朗日松弛问题：
$$d(\lambda )=\underset{x\in X}{\min }{c}^{T}x+{\lambda }^T(Ax-b)$$
则对任意（7.2）的可行解 $x$ 和 $\lambda \in {\mathbb{R}}_{+}^m$，有 $d(\lambda )\le c^{T}x$，故 $d(\lambda )$ 是（IP）的一个下界，而最优的下界可以由下列对偶问题得到：
$$(D)\underset{\lambda \in {\mathbb{R}}_{+}^m}{\max }d(\lambda )$$
在许多情况下计算拉格朗日松弛界 $d(\lambda )$ 往往很容易，如当 X={0,1}nX=\{0,1\}^nX={0,1}n 时​ ，
d(λ)=−λTb+∑i=1nmin⁡{0,ci+λTai} d(\lambda) = -\lambda^Tb+\sum_{i=1}^n\min\{0,c^i+\lambda^Ta_i\} d(λ)=−λTb+i=1∑n​min{0,ci+λTai​}
其中 $a_i$ 是 $A$ 的第 $i$ 列。

7.2 分支定界方法：0-1背包问题

考虑以下0-1背包问题：
(0-1 KP)max⁡cTx,s.t. aTx≤b   x∈{0,1}n \text{(0-1 KP)}\qquad\begin{aligned} &\max c^Tx, \\ & \text{s.t.}\ a^Tx\le b\\ &\quad\ \ \ x\in \{0,1\}^n \end{aligned} (0-1 KP)​maxcTx,s.t. aTx≤b   x∈{0,1}n​
这里 $c_i>0,a_i>0,i=1,...,n$，问题（0-1KP）的线性规划松弛为：
$$\text{(CKP)}\begin{array}{rl}& \max c^{T}x,\\ & \text{s.t.}{a}^{T}x\le b\\ & x\in [0,1{]}^n\end{array}$$
使用贪心法来求解，将 {ciai}\{\cfrac{c_i}{a_i}\}{ai​ci​​} 按降序排列，设：
$$\frac{c_1}{a_1}\ge \frac{c_2}{a_2}\ge \cdots \ge \frac{c_n}{a_n}\text{\hspace{1em}(7.3)}$$
设 $s$ 是使下式成立的最大指标 $k$：
$$\sum _{j=1}^k{a}_j\le b\text{\hspace{1em}(7.4)}$$
定理7.3 线性规划问题（CKP）的最优解为：
$$\begin{array}{rl}& x_j=1,j=1,...,s\\ & x_j=0,j=s+2,...,n\\ & x_{s+1}=(b-\sum _{j=1}^s{a}_j)/a_{s+1}\end{array}$$
设 $f^{\ast }$ 是（0-1KP）的最优值，若 $c_j$ 都是整数，则 $f^{\ast }$ 也是整数，故 $f^{\ast }$ 的一个上界为
$$z=\sum _{j=1}^s{c}_j+\lfloor (b-\sum _{j=1}^s{a}_j)c_{s+1}/a_{s+1}\rfloor$$
例7.1 考虑下列0-1背包问题：
max⁡8x1+11x2+6x3+4x4s.t. 5x1+7x2+5x3+3x4≤14x∈{0,1}4 \begin{aligned} &\max 8x_1+11x_2+6x_3+4x_4\\ &\text{s.t.}\ 5x_1+7x_2+5x_3+3x_4\le 14\\ &\qquad x\in \{0,1\}^4 \end{aligned} ​max8x1​+11x2​+6x3​+4x4​s.t. 5x1​+7x2​+5x3​+3x4​≤14x∈{0,1}4​
应用定理7.3，该问题的线性规划松弛的最优解为 $x=(1,1,\frac{1}{2},0{)}^T$，对应的上界为 22。选择变量 $x_3$ 进行分枝，固定 $x_3=0$ 和 $x_3=1$，得到两个子问题：
(P1)max⁡8x1+11x2+4x4s.t. 5x1+7x2+3x4≤14x1,x2,x3∈{0,1} (P_1)\quad\begin{aligned} &\max 8x_1+11x_2+4x_4\\ &\text{s.t.}\ 5x_1+7x_2+3x_4\le 14\\ &\qquad x_1,x_2,x_3\in \{0,1\} \end{aligned} (P1​)​max8x1​+11x2​+4x4​s.t. 5x1​+7x2​+3x4​≤14x1​,x2​,x3​∈{0,1}​

(P2)max⁡6+8x1+11x2+4x4s.t. 5x1+7x2+3x4≤10x1,x2,x3∈{0,1} (P_2)\quad\begin{aligned} &\max 6+ 8x_1+11x_2+4x_4\\ &\text{s.t.}\ 5x_1+7x_2+3x_4\le 10\\ &\qquad x_1,x_2,x_3\in \{0,1\} \end{aligned} (P2​)​max6+8x1​+11x2​+4x4​s.t. 5x1​+7x2​+3x4​≤10x1​,x2​,x3​∈{0,1}​

子问题 $(P_1)$ 的线性规划松弛的最优解为 $(1,1,\frac{2}{3}{)}^T$，对应的上界为 $z=21.67$。子问题$(P_2)$的线性规划松驰的最优解为 $(1,\frac{5}{7},0{)}^T$，对应的上界为 $z=21.86$。分枝过程见图7.1.

选择子问题 $(P_2)$，选择变量 $x_2$ 进行分枝，固定 $x_2=0$ 和 $x_2=1$ ，得到2个子问题：
(P3)max⁡6+8x1+4x4s.t. 5x1+3x4≤10x1,x4∈{0,1} (P_3)\quad\begin{aligned} &\max 6+8x_1+4x_4\\ &\text{s.t.}\ 5x_1+3x_4\le 10\\ &\qquad x_1,x_4\in \{0,1\} \end{aligned} (P3​)​max6+8x1​+4x4​s.t. 5x1​+3x4​≤10x1​,x4​∈{0,1}​

(P4)max⁡17+8x1+4x4s.t. 5x1+3x4≤3x1,x4∈{0,1} (P_4)\quad\begin{aligned} &\max 17+8x_1+4x_4\\ &\text{s.t.}\ 5x_1+3x_4\le 3\\ &\qquad x_1,x_4\in \{0,1\} \end{aligned} (P4​)​max17+8x1​+4x4​s.t. 5x1​+3x4​≤3x1​,x4​∈{0,1}​

子问题 $(P_3)$ 的最优解为 $(1,1{)}^T$，对应原问题的一个可行解 $x=(1,0,1,1{)}^T$，目标函数值为 $z=18$。子问题 $(P_4)$ 的线性规划松弛的最优解为 $(1,\frac{3}{5}{)}^T$，对应的上界为 $z=21.80$，分支过程见图7.2。

选择子问题 $(P_4)$ 并对 $x_1$ 进行分枝，固定 $x_1=0$ 和 $x_1=1$得到2个子问题：
(P5)max⁡17+4x4s.t. 3x4≤3x4∈{0,1} (P_5)\quad\begin{aligned} &\max 17+4x_4\\ &\text{s.t.}\ 3x_4\le 3\\ &\qquad x_4\in \{0,1\} \end{aligned} (P5​)​max17+4x4​s.t. 3x4​≤3x4​∈{0,1}​

(P6)max⁡25+4x4s.t. 3x4≤−2x4∈{0,1} (P_6)\quad\begin{aligned} &\max 25+4x_4\\ &\text{s.t.}\ 3x_4\le -2\\ &\qquad x_4\in \{0,1\} \end{aligned} (P6​)​max25+4x4​s.t. 3x4​≤−2x4​∈{0,1}​

易见，子问题 $(P_5)$ 的最优解为 $x_4=1$，对应原问题的一个可行解 $x=(1,1,0,1{)}^T$，其目标函数值为 $z=21$ 。而子问题 $(P_6)$ 不可行。分枝过程见图7.3。因为节点1对应的
子问题 $(P_1)$ 的上界为21.67且原问题的最优值为整数，故子问题 $(P_1)$ 不可能产生
比 $x=(1,1,0,1{)}^T$更好的可行解。从而推断出所有 {0,1}4\{0,1\}^4{0,1}4 中没有比 $x=(1,1,0,1{)}^T$
更好的可行解，故 $x=(1,1,0,1{)}^T$ 是原问题的最优解。

由上述例子可以看出，分枝定界过程中产生的子问题之间的关系是一树状结构，以后称之为分枝定界树或搜索树。分枝定界求解0-1背包问题的基本思想可以总结如下：

算法7.1(0-1背包问题分枝定界算法)

初始步.求解原问题的线性规划松弛，若得到整数解则也是原问题的最优解，否则得到原问题的一个上界.

• 分枝：选择适当的变量 $x_i$，分别固定 $x_i=0$ 和 $x_i=1$ 得到2个子问题。
• 定界：选择一个子问题，求解该子问题的线性规划松弛。
• 剪枝：若发生下列情况之一，则可停止对该子问题进行分枝（剪枝）：
  • 子问题的线性规划松弛的最优解是整数解；
  • 子问题不可行；
  • 子问题的上界等于或小于已知的可行解的目标函数值。

最优性.重复上述过程直到分枝定界树中没有需要考虑的节点（子问题），当前最好的可行解就是原问题的最优解。

7.3 分支定界方法：一般线性整数规划

本节讨论下列一般线性整数规划问题：
$$\text{(IP)}\begin{array}{rl}& \min c^{T}x,\\ & s.t.Ax\le b,\\ & x\in {\mathbb{Z}}_{+}^n\end{array}$$
记 S={x∈Z+m∣Ax≤b}S=\{x\in \Z_+^m|Ax\le b\}S={x∈Z+m​∣Ax≤b}。求解0-1背包问题的算法7.1可以推广到一般整数规划问题，只要使用适当方法把子问题的可行域剖分为若干个小的子集，一般是把可行域分成2个部分，从而可以产生类似于0-1背包问题的分枝定界树。设子问题的线性规划松弛解为$x^0=(x_1^0,...,x_n^0{)}^T$，其中至少有一个 $x_i^0$ 是分数。假设选取变量进行分枝，一种自然的剖分方法是分别设
$$x_i\le \lfloor x_i^0\rfloor ,x_i\ge \lfloor x_i^0\rfloor +1$$
$\lfloor \rfloor$ 表示取下整。则得到2个新的节点（子问题），如图7.4所示。显然，上述对整数规划可行域的剖分并不会丢失任何整数可行点。

选择分枝变量的基本策略是使分枝后的2个子问题的线性规划松弛界与当前问题的界之间的差别尽可能大，这样就有可能尽早进行剪枝。常用的方法是选取
i=arg⁡max⁡{min⁡(xj0−⌊xj0⌋,⌈xj0⌉−xj0) ∣ xj0为分数} i=\arg \max\{\min(x_j^0-\lfloor x_j^0 \rfloor ,\lceil x_j^0 \rceil -x_j^0)\ |\ x_j^0为分数\} i=argmax{min(xj0​−⌊xj0​⌋,⌈xj0​⌉−xj0​) ∣ xj0​为分数}
在分枝定界过程中，在剪枝后如何从搜索树中剩下的节点（子问题）中选择一个节点继续进行分枝也将影响整个分枝定界的收敛速度。常用的策略有

• 下界优先：总是选择下界最小的节点进行分枝，这里的下界可以是线性规划松弛界，或者是指该节点继承其父节点的下界
• 深度优先：把分枝定界树的层数（已分枝变量的个数）定义为节点的深度，深度优先策略是选择具有最大深度的节点进行分枝，从而能比较快地找到可行解。

例7.2 考虑下列线性整数规划问题：

该问题的线性规划松弛的最优单纯形表见表7.1，故线性规划松弛的最优解为 $x={\left(\frac{20}{7},3\right)}^T$，问题的下界为 $z=-\frac{59}{7}$。选择 $x_1$ 进行分枝，分别加入约束 $x_1\le 2$和 $x_1\ge 3$ 得到两个子问题，如图7.5。选择节点1，其对应的线性规划是节点0的线性规划加上约束 $x_1\le 2$，其可以表示为 $x_1+s=2,s\ge 0$，在表7.1中， $x_1$ 是基变量，可以用非基变量 $x_3$ 和 $x_4$ 表示，所以约束 $x_1\le 2$ 可以表示为：
$$-\frac{1}{7}{x}_3-\frac{2}{7}{x}_4+s=-\frac{6}{7}$$

将上述约束加入表7.1，可得单纯形表7.2。易见，以 $(x_1,x_2,x_5,s)$ 为基变量的解对偶可行。经过 2 次对偶单纯形迭代，可得到最优单纯形表7.3。故节点1对应的线性规划最优解为 $x=\left(2,\frac{1}{2}\right)$ ，最优值为 $z=-\frac{15}{2}$ 。选择分数变量 $x_2$ 进行分枝，加入约束 $x_2\le 0$ 和 $x_2\ge 1$ 得到2个子问题，见图7.6。应用深度优先选择节点3，其对应的线性规划的最优解为 $x=(\frac{3}{2},0{)}^T$，最优值为 $z=-6$ ，继续选择节点4其对应的线性规划具有整数最优解$x=(2,1{)}^T$ ，最优值为 $-7$。

故节点3和4可以去除（剪枝），只剩下节点2需要考虑。把约束 $x_1\ge 3$ 写为 $x_1-t=3,t\ge 0$。类似地，可以把这个约束用表7.1中的非基变量 $x_3$ 和 $x_4$ 表示：
$$\frac{1}{7}{x}_3+\frac{2}{7}{x}_4+t=-\frac{1}{7}$$
把该约束加入单纯形表7.1得表7.4。容易看出，该线性规划不可行.故分枝定界树里已经没有节点需要考虑，当前最好的可行解 $x=(2,1{)}^T$ 就是原问题的最优解，见图7.7.

7.4 一般分支定界方法

考虑如下非线性整数规划问题：
$$\text{(P)}\begin{array}{rl}& \min f(x),\\ & \text{s.t.}{g}_i(x)\le b_i,i=1,...,m,\\ & h_k(x)=c_k,k,...,l,\\ & x\in X\end{array}$$
其中 $f$，$g_i$ 和 $h_k$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中的实值函数，$X\in {\mathbb{Z}}^n$ 是一个整数集合。

为了应用分枝定界的基本框架，需要

• 对§的子问题定界的方法，如凸整数规划问题的连续松弛、线性下逼近方法可分离整数规划的拉格朗日松弛和二次0-1规划的半定规划(SDP)松弛；
• 求可行解的启发式方法，如贪婪法和根据问题的特殊结构设计的求可行解程序。

以下记 $(P(X_i))$ 为§的一个子问题，其中 $X_i$ 是 $X$ 剖分后的子集，用 $L$ 记分枝定界树中存储的节点（子问题）集合。一般分枝定界的基本框架可以描述如下：

• 步0（初始步）：令 $L=P(X)$ ，利用启发式算法求得问题的一个初始可行点$x^{\ast },v^{\ast }=f(x^{\ast })$。若无初始可行解则令 $v^{\ast }=+\infty$.
• 步1（选择节点）：若 $L=\varnothing$，停止，$x^{\ast }$ 是原问题的最优解。否则，从L中选择一个或多个节点，记为 Ls={P(X1),⋯，P(Xk)}L^s=\{P(X_1),\cdots，P(X_k)\}Ls={P(X1​),⋯，P(Xk​)}。令 $i=1$。
• 步2（定界）：计算子问题 $(P(X_i))$ 的下界 $L{B}_i$ 。如果 $(P(X_i))$ 不可行，则记$L{B}_i=+\infty$。若 $L{B}_i\ge v^{\ast }$，转步5。若 $(P(X_i))$ 的松弛问题的最优解 $\tilde{x}$ 是整数解，若 $\tilde{x}$ 是比当前最好的可行解 $x^{\ast }$ 更好的解，更新 $x^{\ast }$，转步5。否则转步3。
• 步3（可行解）：利用启发式算法寻找可行解，若有则更新当前最好的可行解 $x^{\ast }$
  和上界 $v^{\ast }$。若 $i<k$ ，令 $i:=i+1$，回到步2，否则转步4。
• 步4（分枝）：如果 $L^s=\varnothing$，转步1，否则，从 $L^s$ 选择节点 $(P(X_i))$ 。剖分 $X_i$
  为若干子集 Lis={Xi1,⋯ ,Xip}L_i^s=\{X_i^1,\cdots,X_i^p\}Lis​={Xi1​,⋯,Xip​} 并在 $L^s$ 中用 $L_i^s$ 对应的子问题替换 $(P(X_i))$。令
  $L:=L\cup L^s$。转步1。
• 步5（剪枝）：从 $L^s$ 中删除 $(P(X_i))$ 。若 $i<k$ ，令 $i:=i+1$，回到步2，否则转步4。

上述分枝定界算法是概念性的，其算法效率取决于子问题的下界 $L{B}_i$ 的质量和下界计算方法的效率。另一方面，算法的收敛速度与是否可以快速产生可行解也密切相关。在后面的章节中将介绍一些非线性整数规划的定界方法，如连续松弛和拉格朗日松弛等。

参考文献

1. 整数规划 孙小玲，李瑞 北京，科学出版社 2010