信号与系统2023第三次作业辅导视频：系统框图
系统框图到系统方程
01 系统框图
一、前言
在第三次作业中，有几道题目要求根据系统框图写出微分方程或者差分方程。 其中包括连续时间系统和离散时间系统。 随着系统中累加器，或者叫综合器的个数增多， 求解的难度也逐步增加。 下面对于求解的思路和方法进行介绍， 特别介绍利用算子法来化简这类多个综合器系统框图方程。
▲ 图1.1.1 从系统框图到系统方程
二、基本方法
首先看着一个带有一个综合器的系统框图， 根据综合器列写方程。 根据输出yt信号，补齐框图中前面节点变量，它们是yt的一阶二阶导数。 然后再找齐综合器所有输入输出变量。 根据第一个信号分支， 它对应输入信号为 0.5 乘以yt的导数。 根据第二个信号分支， 由于对应的极性为负， 所以对应的信号为-5倍的 yt。 再加上系统输入信号xt， 最后等于y两撇。 这样得到一个微分方程。 将它整理成系统微分方程标准形式。 这是最后的答案。
▲ 图1.2.1 系统框图对应的方程
对于离散时间系统， 求解方式基本相同。 根据系统输出所在的位置， 放大倍数为2。 则中间结点为 y[n] 二分之一。 在根据两个延迟单元， 确定左右两个节点的变量。 第一个综合器分支， 对应的变量为负二分之一 y[n]。 第二个分支， 对应变量为二分之三 y[n]。 第三个分支 是系统输入信号 x[n]。 综合器的输出是 y[n+1]除以2。 这样便可以得到一个差分方程。 将其中 x[n] 移到方程右边， 整理方程， 将其中首项系数变成 1。 并整理成后向差分方程。 这是系统最终的差分方程。
▲ 图1.2.2 离散时间系统对应的差分方程
三、两个综合器
相比于只有一个综合器的系统框图来说， 这种带有两个综合器的系统框图求解比较困难。 通常采用设置临时变量方法辅助求解。 根据每一个综合器列写方程。 对于左边的累加器， 得到 xt,wt 的微分方程。 根据第二个累加器， 得到 yt, wt 之间的微分方程。 为了消去临时变量， 采用微分算子方法进行化简。 将所得到的微分方程， 转换成带有微分算子的代数方程。 将两个等式相除， 便可以消去临时变量。 剩下的就是关于 xt, yt 的方程。 将它左右展开， 便可以恢复到微分方程的形式。 这是最终的答案。
▲ 图1.3.1 系统框图的微分方程
这道离散时间系统框图，有一个特殊的环节。 这个从输出反馈到第一个综合器的支路， 给求解稍微带来的麻烦。 在系统框图中间结点设置临时变量 w[n]。 根据第一个综合器， 得到第一个差分方程。 根据第二个综合器， 得到第二个差分方程。 第一个差分方程中同时包括有 x[n[, y[n]， 这使得后面的化简稍微麻烦一点点。 下面使用延迟算子化简差分方程。 将两个差分方程修改成延迟算子对应的代数方程。 将两个方程相除，便可以消去临时变量 w[n]。 将方程分式展开， 化简该方程， 经过合并同类项之后， 重新修改成标准的系统差分方程形式， 这是最终系统的差分方程结果。
▲ 图1.3.2 差分方程和系统框图
※ 总 结 ※
本文对于第三次作业中的系统框图求解进行了分析。 展示了利用中间变量方法， 求解这种带有多个综合器的系统框图。 利用微分和延迟算子可以简化求解过程。
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