• 信号与系统 2023（春季） 作业要求 - 第三次作业
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01 系统框图

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一、前言

  在第三次作业中有三个系统框图选做题， 一个是具有三个综合器的连续时间系统框图， 另外两个是具有多个综合器的离散时间系统。 下面对这三个系统进行简要分析。

▲ 图1.1.1 三个系统框图

二、连续时间系统

  这个具有三个综合器的系统框图 实际上是两个子系统的并联。 按照0.5和5的加权，两个子系统的输出形成整个系统的输出。 接下来对它进行分析。

  设置两个中间变量， 分别是w(t),v(t)。 上面的综合器的输出应该是二分之一，w 的导数。 根据第一个综合器，列写对应的微分方程。 这是整理后的关于x(t),w(t)的微分方程。 根据第二个累加器， 列写出对应的微分方程。 系统输出y(t)等于w(t),v(t)的加权叠加。 这样便得到了三个微分方程。 下面通过微分算则方法， 将两个微分方程转换成代数方程。 于是便可以得到w(t),v(t) 的表达式， 将它们代入y(t) 方程， 便可以得到关于x(t),y(t)的微分算子方程， 进行化简之后，  便可以写出x(t),y(t)之间的微分方程。   这是系统对应的微分方程。

▲ 图1.2.1 系统框图以及对应的微分方程

三、离散时间系统

  在这个离散时间系统框图中，  分别将x[n],y[n]延迟之后，形成下面各节点信号。 通过这四个系数， 将它们叠加在一起。 然后根据最上面的综合器，可以得到一个差分方程。 将输出变量移项到方程左边， 于是便得到系统标准的后向差分方程。 这是系统框图对应的差分方程。 

▲ 图1.3.1 系统框图以及对应的微分方程
  这个具有两个延迟单元的结构上比刚才简单， 设定中间变量w[n]，可以得到下面两个节点对应的变量。 根据加权系数，可以得到左边累加器的输入， 同样，也可以得到右边累加器的输入。 根据左边累加器， 得到 x[n],w[n]之间的差分方程。 根据右边的累加器， 得到 y[n],w[n]之间的差分方程。 使用延迟算子 化简差分方程。 消去中间变量 w[n]之后， 展开方程两边，便可以得到x[n],y[n] 之间的差分方程。    这是该系统的查分方程。

▲ 图1.3.2 系统框图以及对应的微分方程
  刚才两个离散时间系统， 虽然它们系统框图不同， 但对比一下系统差分方程，  可以看到它们是一模一样。 这两个系统是 FIR 滤波器的两种实现形式。

 

※ 总  结 ※

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  本文对于第三次作业中系统框图题目进行了分析， 两个一阶子系统的并联最终形成二阶微分方程。 同一个差分方程， 可以有两种结构不同的系统框图。

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