在微分方程中，常见的形式是：

$$x^{\prime }=f(x,t)$$
方向场的每一个矢量可以形象地刻画一阶微分方程的解。在方向场中的每个点处，都会出现一条其斜率等于通过该点的微分方程解的矢量。给定一个初值，微分方程对应一条curve曲线，点上的方向矢量和相切。

例子：解析解

$$\frac{dx}{dt}=x-t^2$$

我们可以求得解析解：

$$x(t)=C{e}^t+t^2+2t+2$$

编写matlab代码：

clc 
clear
% 创建一个区域
[t,x] = meshgrid(-2:0.2:3,-1:0.2:2);
% 计算方向向量的斜率
slope = x - t.*t;
% find the length of the vector (1,slope)
length = sqrt(1 + slope .* slope);
% 绘制方向矢量
quiver(t,x,1./length,slope./length,0.5,'Color',	'#0072BD')
axis equal equal
hold on
% 给定不同的初值求解析解
tt = [-2:0.2:3];
for cval = -10:1:10
x_exact = cval * exp(tt) + tt.*tt + 2*tt + 2;
plot(tt,x_exact,'Color','#D95319')
end
xlim([-2,3]);
ylim([-1,2]);
xlabel('t','Fontsize',20)
ylabel('x','Fontsize',20)

例子：数值解

还是上面的这个方程，如果我们解不出解析解，那么我们就用数值解来算一下。

$$\frac{dx}{dt}=f(x,t)=x-t^2$$

使用前向欧拉法的迭代方法：
$$x_{k+1}=x_k+hf(x_k,t_k)$$

clc 
clear
% 创建一个区域
[t,x] = meshgrid(-2:0.2:3,-1:0.2:2);
% 计算方向向量的斜率
slope = x - t.*t;
% find the length of the vector (1,slope)
length = sqrt(1 + slope .* slope);
% 绘制方向矢量
quiver(t,x,1./length,slope./length,0.5,'Color',	'#0072BD')
axis equal equal
hold on
% 给定不同的初值求数值解
tt = [-2:0.2:3];
t_step = 0.2;
k=1;
for x0 = linspace(0.5,2,15)
    x_numer(1) = x0;
    for t_numer = tt(1:end-1)
        k = k + 1;
        slope_numer = x_numer(k-1) - t_numer.*t_numer;
        x_numer(k) = x_numer(k-1) + slope_numer * t_step;
    end
    plot(tt,x_numer,'Color','#D95319');
    k=1;
end
xlim([-2,3]);
ylim([-1,2]);
xlabel('t','Fontsize',20)
ylabel('x','Fontsize',20)