符号说明

与参考文献2中一致

Popov超稳定性概述1

对于连续时间线性定常系统，超稳定性成立的条件有两个：

输入输出积分满足Popov积分不等式：

传递函数矩阵满足正实性。

在MRAS中的应用，以PMSM参数辨识为例

在参考文献2中，可以看到本身模型参考自适应原理比较简单，只是对于控制器设计和稳定性证明比较麻烦，用到了Popov超稳定性理论来设计控制器。

首先，参考模型选择与源模型相同，构造了一误差系统，只要保证该误差系统的状态变量收敛到0，则电机参数即可估计出来。

其中

为误差矢量，

。取

，则有：

通过设计

来保证系统传递函数矩阵严格正实3，设计

来保证满足输入输出Popov积分不等式。在该系统中，有

，取

均为PI类型的控制器，有：

将上

计算式带入到Popov积分不等式中，其中

即为误差系统中的

，

则为误差系统中的

，借助matlab符号运算，即可得到化简后的Popov积分不等式如下：

其中，

为一误差系统中与系统变量(即误差

)初值相关的量。

可以看到，要满足上式，即使：

均满足即可。以上三式中第一个不等式为例，将其拆开，可以得到：

均满足即可。对于上两式中的第一式，可以利用如下不等式：

取

，则可以得到：

而对于上两式中的第二式，可以直接取

即可保证不等式成立：

因此，对于

的控制率可以选择：

即可保证误差系统满足Popov超稳定性条件。使用同样的方法，即可得到

的控制率如下：

Note

值得注意的是，文献2中利用MRAS同时辨识出三个电机参数，但实际上系统模型的阶数仅为两阶，因此个人觉得应该是有些许错误，在实际仿真时也印证了这一点：只有两个参数时辨识才准确，若三个参数同时辨识，结果将不准确。

参考文献

[2] Quntao An and Li Sun, "On-line parameter identification for vector controlled PMSM drives using adaptive algorithm," 2008 IEEE Vehicle Power and Propulsion Conference, Harbin, 2008, pp. 1-6, doi: 10.1109/VPPC.2008.4677634.

[3] Xu Junfeng, Xu Yinglei, Xu jiangping, et al. “A new control method for permanent magnet synchronous machines with observer”, Aachen Germany: 35th IEEE Power Electronics Specialists Conference, 2004.

附录

matlab公式化简源码

clc;

clear all;

syms a b c A B C Ag Bg Cg e dltA dltB dltC i ig we id iq idg iqg ag bg cg e ud uq u real

A = [-a we;-we -a]

Ag = [-ag we;-we -ag]

B = [b 0;0 b]

Bg = [bg 0;0 bg]

C = [0;-we*c]

Cg = [0;-we*cg]

dltA = A - Ag

dltB = B - Bg

dltC = C - Cg

i = [id;iq]

ig = [idg;iqg]

e = i - ig

u = [ud;uq]

clc

-(dltA*ig + dltB*u + dltC)' * e