统计推断的基本问题

（1）参数估计问题：总体X的分布函数的形式已知，但它的一个或多个参数为未知，需要借助于X的样本来估计它们。有两种形式：点估计和区间估计

（2）假设检验问题：总体X的分布函数的形式完全未知，或只知其形式，但不知其参数，为了推断总体的某些未知特性，提出某些关于总体的假设。

区间估计

引入：点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大。而区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷。

譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若根据一个实际样本，得到鱼数N的极大似然估计为1000条，实际上，N的真值可能大于1000条，也可能小于1000条，若能给出一个区间，使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值。

​这里所说的”可靠程度“是用概率来度量的，称为置信概率，置信度或置信水平

习惯上把置信水平记作$1-\alpha$，这里$\alpha$是一个很小的正数。

​置信水平的大小是根据实际需要选定的。
一、置信区间的基本概念

• 置信区间的定义：

  设$\theta$是一个待估参数，给定$\alpha >0$，若由样本$X_1,X_2,...,X_n$确定的两个统计量${\hat{\theta }}_1={\hat{\theta }}_1(X_1,X_2,...,X_n),{\hat{\theta }}_2={\hat{\theta }}_2(X_1,X_2,...,X_n)({\hat{\theta }}_1<{\hat{\theta }}_2)$满足
  P{θ^1≤θ≤θ^2}=1−α P\{\hat \theta_1\leq \theta \leq \hat \theta_2\}=1-\alpha P{θ^1​≤θ≤θ^2​}=1−α
  则称区间$[{\hat{\theta }}_1,{\hat{\theta }}_2]$是$\theta$的置信水平（置信度、置信概率）为$1-\alpha$的置信区间，${\hat{\theta }}_1$和${\hat{\theta }}_2$分别称为置信下限和置信上限。通常可取置信水平$1-\alpha =0.95$或$0.9$等。

  可见，对参数$\theta$作区间估计，就是要设法找出两个只依赖于样本的界限（构造统计量）
  $$\begin{gathered} {\hat{\theta }}_1={\hat{\theta }}_1(X_1,...,X_n) \\ {\hat{\theta }}_2={\hat{\theta }}_2(X_1,...,X_n) \end{gathered}$$
  其中${\hat{\theta }}_1<{\hat{\theta }}_2$，一旦有了样本，就把$\theta$估计在区间$[{\hat{\theta }}_1,{\hat{\theta }}_2]$内。

• 要求：

  1. 要求$\theta$以很大的可能被包含在区间$[{\hat{\theta }}_1，{\hat{\theta }}_2]$内，就是说，概率P{θ^1≤θ≤θ^2}P\{\hat \theta_1\leq \theta\leq \hat \theta_2\}P{θ^1​≤θ≤θ^2​}要尽可能大。即要求估计尽量可靠。
  2. 估计的精度要尽可能的高。如要求区间长度${\hat{\theta }}_2-{\hat{\theta }}_1$尽可能短，或能体现该要求的其它准则。
  3. 可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下，尽可能提高精度。

• 寻找置信区间的方法，一般是从确定误差限入手。

​ 我们选取未知参数的某个估计量$\hat{\theta }$,根据置信水平$1-\alpha$,可以找到一个正数$\delta$，使得
P{∣θ^−θ∣≤δ}=1−α P\{|\hat \theta-\theta|\leq \delta\}=1-\alpha P{∣θ^−θ∣≤δ}=1−α
​ 称$\delta$为$\hat{\theta }$与$\theta$之间的误差限。

​ 只要知道$\hat{\theta }$的概率分布，确定误差限并不难。

​ 由不等式$|\hat{\theta }-\theta |\le \delta$可以解出$\theta$：
$$\hat{\theta }-\delta \le \theta \le \hat{\theta }+\delta$$
​ 这个不等式就是我们所求的置信区间。

二、置信区间的求法

• 一般步骤：

  1. 明确问题，是求什么参数的置信区间？置信水平$1-\alpha$是多少？

  2. 寻找参数$\theta$的一个良好的点估计
     $$T(X_1,X_2,...,X_n)$$

  3. 寻找一个待估参数$\theta$和估计量$T$的函数$S(T,\theta )$，且其分布为已知。称$S(T,\theta )$为枢轴量。

  4. 对于给定的置信水平$1-\alpha$，根据$S(T,\theta )$的分布，确定常数$a、b$，使得
     $$P(a\le S(T,\theta )\le b)=1-\alpha$$

  5. 对"$\alpha \le S(T,\theta )\le b$"作等价变形，得到如下形式：
     P{θ^1≤θ≤θ^2}=1−α P\{\hat \theta_1 \leq \theta \leq \hat \theta_2\}=1-\alpha P{θ^1​≤θ≤θ^2​}=1−α
     则$[{\hat{\theta }}_1,{\hat{\theta }}_2]$就是$\theta$的$100(1-\alpha )\%$的置信区间