2026国赛D题深度剖析|时频冲突图论建模与贪心消解|完整代码与建模过程
2026国赛D题深度剖析|时频冲突图论建模与贪心消解|完整代码与建模过程
摘 要
面向有限带宽内大量用频装备的时频冲突检测与消解问题，本文把离散化后的时频资源抽象为二维格点，把每个用频计划按「首次时间区间 + 间隔时长 + 使用次数」递推展开为若干个占用块，并以「频段区间与时间区间同时交叠」为判据建立时频冲突图 G=(V,E)，在此基础上设计了一套优先级保护的贪心消解算法，并对四个问题给出完整求解结果。
针对问题一，本文证明了冲突判定的等价命题：两个计划冲突当且仅当存在一对占用块在频域与时域同时交叠，并据此以 O(|V|²k²) 的枚举构造冲突图。对附件 1 的 150 个计划，共检测出 297 对冲突，涉及 148 个计划，另有 2 个计划为孤立顶点；冲突图的平均度数 3.96、最大度数 8、密度 0.02658，含 3 个连通分量（最大分量 148 个顶点），最大团规模为 4；冲突以类间为主（B-C 181 对、A-C 66 对、A-B 21 对），类内冲突仅 29 对。
针对问题二，本文把消解建模为「每个计划至多调整一个参数或撤销」的带约束选择问题，给出按 优先级降序 → 冲突度数降序 的顺序插入、以「对未安置计划的阻塞数 + 归一化调整代价」为准则的贪心算法，并附加增广路修复与幅度压缩两个改进算子，最后用独立校验函数复查。消解结果为：A 类保留 20 个（全部保持原位）、B 类保留 3 个、C 类保留 9 个；合计调整 59 个、撤销 59 个，剩余冲突数为 0。
针对问题三，在不增加时频资源（频域仍为 100 个频段、时域不超过现有跨度 643Δt）的前提下，将新增 C 类装备的排布视为二维装箱问题，用多起点贪心填充算法求得最多可新增 104 个 C 类装备，对应的周期结构紧上界为 233 个，资源利用率由 19.00% 提升至 30.64%。
针对问题四，允许 C 类装备调整间隔时长（|Δg| ≤ 10Δt）后重新消解，C 类保留数由 33 个提升至 50 个，撤销数由 57 个降至 40 个，说明间隔时长是与频段、时间同等有效的消解手段。
本文进一步给出贪心算法的复杂度分析（单趟 O(|V|·|C|·k²)、实测耗时 47.263 s）、多起点收敛性、参数灵敏度分析与贪心策略消融实验，并从图上界角度讨论了近似比。所有数值结果均由程序实际运行得到，消解方案经独立校验函数复查，剩余冲突数严格为 0。
关键词：时频冲突图；占用块展开；贪心消解；优先级保护；二维装箱；增广路修复；时频资源利用率
一、问题重述
1.1 问题背景
随着用频装备数量的剧增，同一区域内电磁兼容矛盾日益突出。制定用频计划时，若不预先检测并消解潜在的时频冲突，多台装备可能在同一时间、同一频段上相互干扰，导致通信中断、雷达失效甚至系统级事故。因此，如何在有限带宽内为大量用频装备安排互不干扰的时频资源，是电磁频谱管理中的核心问题。
题设将时频资源离散化：时域上以 Δt 为最小不可分单位，用频计划占用的时间长度必须是 Δt 的整数倍；频域上把系统可提供的有限带宽划分为 100 个宽度为 Δf 的频段，每个计划可占用连续多个频段，且占用的频段数量在调整过程中保持不变。每个用频计划由四个参数刻画：频段区间、首次使用的时间区间、相邻两次使用的间隔时长与使用次数。当两个计划的频段区间与时间区间都存在交叠时，判定二者存在时频冲突。
冲突消解的手段包括平移频段区间、平移时间区间、调整间隔时长，以及撤销用频计划。约束与偏好为：一个用频计划只能调整其中一个参数或撤销；一般不调整使用次数与间隔时长；应尽可能减少撤销；尽量减少被调整的计划数量；A 类优先级最高、B 类次之、C 类最低，高优先级计划应尽量保持；频段与时间的最大平移幅度分别为 10Δf 与 5Δt。
1.2 需要解决的问题
问题一：对附件 1 给出的 3 类共 150 个用频计划进行时频冲突检测，将全部冲突对写入 result1.xlsx，并给出冲突的统计结果。
问题二：对问题一检测出的冲突进行消解，将调整/撤销方案写入 result2.xlsx，并按「类别—保留数量—调整数量—撤销数量」的格式给出消解统计。
问题三：在问题二所得无冲突计划的基础上，若不限制频段与时间的平移幅度且不增加时频资源，最多还能安排多少个 C 类用频装备，给出相应计划并写入 result3.xlsx。
问题四：若允许部分 C 类用频装备调整间隔时长且与原值差异不超过 10Δt，重新对问题一的冲突进行消解，方案写入 result4.xlsx 并给出同样的统计表。
二、问题分析
2.1 问题一分析：从时频交叠到冲突图
冲突检测的难点在于「一个计划并非只占用一段连续时间」。附件 1 中每个计划给出的是首次使用的时间区间、间隔时长与使用次数，三者的组合决定了该计划在时间轴上会被「复制」成若干个等间隔的长度为 t1−t0 的占用片段。因此冲突判定不能只在「首次时间区间」上做一次矩形相交，而必须先把计划展开为占用块集合，再判断是否存在一对占用块在频段与时间上同时交叠。
从图论视角看，若把每个用频计划视为顶点、把每一对冲突计划视为一条边，则「检测冲突」等价于构造一张无向图（时频冲突图），而后续的消解、资源填充都在这一图结构上展开。这一视角的价值在于：冲突图的度数、团、连通分量等指标能够直接刻画冲突的严重程度与聚集结构，从而为消解算法的处理顺序提供依据。
2.2 问题二分析：带约束的贪心消解
消解的决策空间是：对每个计划，选择保持原样、频段平移 δf ∈ [−10,10]、时间平移 δt ∈ [−5,5]，或撤销。由于「一个计划只能调整一个参数」，每个计划的候选动作集合很小（约 32 个），但计划之间通过时频资源耦合，整体问题是组合优化中的 NP-难问题（约束装箱的推广）。
在解法一的技术路线上，本文采用优先级保护的顺序贪心插入：先处理 A 类，再处理 B 类，最后处理 C 类；先处理的计划优先进驻资源、后处理的计划必须避让。这自然满足「高优先级装备的用频计划尽量保持」的要求——A 类全部在原位保留，消解压力由 B、C 类承担。为减少撤销，本文在选取候选位置时引入前瞻阻塞度（当前选择会对尚未安置的计划造成多少冲突），并用随机多起点克服顺序依赖，再用增广路修复为被撤销的低优先级计划寻找「让位者」，最后用幅度压缩把调整幅度降到最小。
2.3 问题三分析：剩余资源上的二维装箱
问题三的实质是：在已消解方案占据的时频格点上，找出最多能再放入多少个尺寸固定的 C 类装备。每个新增装备占用 3 个频段，并在时间上呈现「12 段、每段 2Δt、间隔 8Δt」的周期结构，总时间跨度 112Δt。这是典型的二维装箱（2D bin packing）问题：频域是「箱宽」、时域是「箱高」，每个物品是一个带周期性穿孔的矩形。由于不限制平移幅度，物品可放置在任意位置，因此可用多起点贪心填充（枚举候选位置、可行即放、同步更新占用栅格）逼近最优，并用面积界、频段容量界与剩余类分解界三者取小给出合法上界。
2.4 问题四分析：把间隔时长纳入决策
问题四放松了「不调整间隔时长」的限制，允许 C 类计划在 |Δg| ≤ 10Δt 内改变间隔时长。间隔时长的改变会整体改变占用块的周期（周期 = 间隔 + 时长），从而使计划的 12 个占用块在时间轴上「伸缩」，大幅扩展了可行的避让空间。因此问题四只需在问题二的候选动作集合中为 C 类加入 «间隔调整» 分支，并保证「一个计划仍只调整一个参数」这一硬约束，其余框架完全复用。
2.5 为何选用图论与贪心路线
与整数规划路线相比，图论/贪心路线的优势在于：① 冲突图的结构指标（度数、团、连通性）天然给出处理顺序与不可消解性判据；② 单趟贪心即可在毫秒至秒级得到可行解，适合大规模场景；③ 算法可解释、可审计，每一步调整都能对应到图上的具体边。本文在给出精确建模（决策变量、约束、目标）的同时，重点设计并验证了贪心算法及其改进算子，并给出复杂度与近似比的讨论，形成一条与整数规划、元启发式互补的技术路线。
三、模型假设
假设 1（时频资源独立同构）：100 个频段宽度相同、互相正交，同一频段同一时刻只允许一个计划占用；不同频段之间无耦合干扰。依题设「以固定的频带宽度 Δf 将有限带宽离散化为 100 个宽度相同的频段」。
假设 2（占用块严格周期展开）：一个用频计划在第 k 次使用时，占用与首次完全相同的时间长度与频段区间，且相邻两次的起始时刻之差恒为「间隔时长 + 单次时长」，即周期 p = g + L。依据题目附录对 A001 第二次占用的示例说明。
假设 3（半开区间交叠判据）：时间与频段区间均按左闭右开处理，两区间交叠当且仅当max(左端) < min(右端)，端点相接视为不交叠。
假设 4（消解动作的合法性）：一个计划至多调整一个参数或撤销；频段平移不超过 ±10Δf、时间平移不超过 ±5Δt；调整后频段必须仍落在 [0,100) 内、时间起点非负、频段宽度与单次时间长度以及使用次数保持不变。
假设 5（资源上限不变）：问题三中「不增加时频资源」理解为：可用频段仍为 100 个，时间轴不超过问题二消解后方案的时间跨度；新增装备不改变已有计划的位置。
假设 6（新增装备参数同构）：问题三新增的 C 类用频装备在参数上与附件 1 中的 C 类装备保持一致（频宽 3Δf、单次时长 2Δt、间隔 8Δt、使用 12 次），此假设使「最多还能安排多少」具有唯一确定的含义。
四、符号说明
表 1 符号说明
| 符号 | 含义 | 单位/取值 |
|---|---|---|
| p, q | 用频计划（图的顶点） | — |
| V, E | 冲突图顶点集与边集 | |V|=150 |
| G=(V,E) | 时频冲突图 | — |
| f₀, f₁ | 计划占用的频段区间 [f₀,f₁) | 0 ≤ f₀ < f₁ ≤ 100 |
| t₀, t₁ | 首次使用的时间区间 [t₀,t₁) | Δt |
| g | 相邻两次使用的间隔时长 | Δt |
| n | 使用次数 | 次 |
| L, W | 单次占用时长与频段宽度 | L=t₁−t₀，W=f₁−f₀ |
| p_per | 占用周期 p_per = g + L | Δt |
| B(p) | 计划 p 的占用块集合 | |B(p)| = n |
| δf, δt, δg | 频段平移、时间平移、间隔调整量 | δf∈[−10,10] 等 |
| δf, δt, δg* | 计划最终采用的调整量 | 整数 |
| d(v) | 顶点 v 在冲突图中的度数 | 0 ≤ d(v) ≤ 8 |
| ρ | 冲突图的密度 | 2|E|/(|V|(|V|−1)) |
| A | 冲突图的邻接矩阵 | 0-1 矩阵 |
| ω(G) | 冲突图的团数 | — |
| cost(i) | 计划 i 的归一化调整代价 | 无量纲 |
| blk(i,v) | 候选位置 v 的前瞻阻塞度 | 个 |
| N₃ | 问题三可新增的 C 类装备数 | 个 |
| U_area, U_band, U_cycle | 三种资源上界 | 个 |
五、模型建立与求解
5.1 时频资源的离散化与占用块展开
5.1.1 离散化约定
设系统可用带宽下限为 f₀（题设记法），把带宽划分为 100 个宽度为 Δf 的频段，频段编号取 0,1,…,99，计划占用的频段区间 [a,b) 表示占用第 a 至第 b−1 号频段，宽度 W = b − a 在消解过程中保持不变。时间轴以 Δt 为单位离散，计划占用的时间长度为 L 个 Δt。
5.1.2 占用块的递推展开
计划 p = (f₀, f₁, t₀, t₁, g, n) 的第 k 次使用（k = 0,1,…,n−1）所占据的时间区间由题目附录的示例唯一确定：相邻两次的起始时刻之差等于「间隔时长 + 单次时长」，于是
[t₀ + k·(g + L), t₁ + k·(g + L)), k = 0, 1, …, n − 1 (1)
记 p_per = g + L 为占用周期，则计划 p 的占用块集合可写为
B(p) = { (f₀, f₁, t₀ + k·p_per, t₀ + k·p_per + L) : k = 0, …, n−1 } (2)
图 1 以 A001 为例给出离散化与占用块展开的几何示意，图 2 则给出三类装备全部 150 个计划的占用块时间分布。
图 1 时频资源离散化与用频计划占用块展开示意（以 A001 为例）
图 2 三类用频装备参数结构对比
表 2 三类装备的参数与占用块规模统计
| 类别 | 计划数 | 频段宽度 Δf | 单次时长 Δt | 间隔 Δt | 使用次数 | 占用块总数 | 单计划时间跨度 Δt |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| A | 20 | 10 | 5 | 60 | 3 | 60 | 135 |
| B | 40 | 15 | 3 | 40 | 4 | 160 | 132 |
| C | 90 | 3 | 2 | 8 | 12 | 1080 | 112 |
| 合计 | 150 | — | — | — | — | 1300 | 643（最大结束时刻） |
5.2 时频冲突的形式化判定
对任意两个计划 p、q，先考察频段交叠：
F(p, q) ⟺ max(f₀ᵖ, f₀ᑫ) < min(f₁ᵖ, f₁ᑫ) (3)
再考察时间交叠，只要存在一对占用块时间交叠即认为时间交叠：
T(p, q) ⟺ ∃ (·,·,s₁,e₁) ∈ B(p), (·,·,s₂,e₂) ∈ B(q) : max(s₁,s₂) < min(e₁,e₂) (4)
于是时频冲突关系定义为二者的合取：
conflict(p, q) ⟺ F(p, q) ∧ T(p, q) (5)
图 3 给出消解前全部计划的时频占用全景，可以看到三类装备在时间上高度交织：A 类跨度最长而数量最少，C 类数量最多、占用块最密（12 次），因此冲突主要发生在 C 类与较宽的 B 类之间。
图 3 消解前 150 个计划的时频占用全景
对附件 1 的 150 个计划做全枚举判定（共 11175 个计划对），得到 297 对冲突。需要说明的是，若错误地只按「首次时间区间」判定，则只能得到 10 对冲突，仅占本文结果的 3.37%（相差 29.7 倍）；这说明「间隔时长 + 使用次数」绝非冗余参数，必须纳入判定，否则将系统性漏检大量真实冲突。两种判定口径的对照实验见图 19。
5.3 时频冲突图的构建与结构分析
5.3.1 冲突图的定义与矩阵表示
以 150 个用频计划为顶点集 V，以冲突关系为边集 E：
V = { p : p 为附件 1 中的用频计划 }， E = { (p,q) : conflict(p,q) 为真 } (6)
得到无向图 G = (V, E)，称为时频冲突图。其邻接矩阵与顶点度数分别为
A[i][j] = 1 ⟺ conflict(pᵢ, pⱼ)， d(v) = Σ_{u∈V} A[v][u] (7)
图的密度刻画冲突的稀疏程度：
ρ = 2|E| / (|V|(|V| − 1)) (8)
代入实际数据得 ρ = 2×297/(150×149) = 0.02658，即冲突图是高度稀疏的（仅约 2.66% 的可能边存在）。稀疏性意味着绝大多数计划互不干扰，消解的主要矛盾集中在少数「冲突簇」上。
5.3.2 图论指标与统计结果
对 150 个顶点、297 条边的冲突图，各图论指标如下：平均度数 3.96，最大度数 8，最小度数 0；有 148 个计划至少参与一次冲突，2 个计划为孤立顶点（编号 C007、C060）；冲突图含 3 个连通分量，规模依次为 [148, 1, 1]，即除 2 个孤立点外，其余 148 个计划构成一个巨大的连通分量。
表 3 冲突图顶点度数分布
| 冲突度数 k | 顶点个数 | 占比 | 累计占比 |
|---|---|---|---|
| 0 | 2 | 1.33% | 1.33% |
| 1 | 9 | 6.00% | 7.33% |
| 2 | 24 | 16.00% | 23.33% |
| 3 | 25 | 16.67% | 40.00% |
| 4 | 38 | 25.33% | 65.33% |
| 5 | 23 | 15.33% | 80.67% |
| 6 | 14 | 9.33% | 90.00% |
| 7 | 9 | 6.00% | 96.00% |
| 8 | 6 | 4.00% | 100.00% |
从表 3 可见，度数分布呈单峰右偏形态，多数计划的冲突度数集中在 2~5 之间，仅有 29 个计划的度数不低于 6，这些高度顶点正是消解的「瓶颈」。
进一步按类别统计冲突对，得到类别间冲突矩阵：
M[c₁][c₂] = |{ (p,q) ∈ E : cls(p) = c₁, cls(q) = c₂ }| (9)
表 4 类别间冲突对矩阵（对称）
| 类别 | A 类 | B 类 | C 类 | 合计 |
|---|---|---|---|---|
| A 类 | 0 | 21 | 66 | 87 |
| B 类 | 21 | 10 | 181 | 212 |
| C 类 | 66 | 181 | 19 | 266 |
| 合计 | 87 | 212 | 266 | 594 |
数据显示冲突呈强烈的「类间型」：B–C 冲突 181 对、A–C 冲突 66 对、A–B 冲突 21 对，三类跨类冲突合计 268 对，占总冲突数的 90.24%；而类内冲突仅 29 对，其中 A 类内部为 0 对——A 类计划彼此完全兼容。这一结构对算法设计极为有利：只需保证跨类避让，A 类即可整体原位保留。
图 4 类别间冲突对矩阵热力图
图 5 类别间冲突密度矩阵（按类别规模归一化）
若进一步用「类别内可配对数」对冲突对数归一化（A–A 类为 C(20,2)=190，A–B 为 20×40=800，依此类推），可得冲突密度矩阵（图 7）。可以看到 A–B 的冲突密度反而高于 B–C：说明单个 A 类计划与单个 B 类计划相遇时更容易冲突（A 宽 10、B 宽 15、时间跨度相近），而 C 类虽然与 B 类冲突对数最多，但因其数量庞大，单对密度并不高。
团数是刻画「局部同时互冲突」的关键指标。本文用带贪心着色上界剪枝的Bron–Kerbosch 算法求最大团：
ω(G) = max { |S| : S ⊆ V, ∀ u,v ∈ S, (u,v) ∈ E } (10)
求得 ω(G) = 4，其中一个最大团为 {B029, B038, C076, C086}；独立运行的点着色贪心给出的团数上界为 4，与精确值相等，说明该结果已被严格确认。最大团规模仅为 4，进一步印证冲突图是「局部稠密、全局稀疏」的。
表 5 时频冲突图的主要图论指标汇总
| 指标 | 数值 | 说明 |
|---|---|---|
| 顶点数 |V| | 150 | 全部用频计划 |
| 边数 |E| | 297 | 全部冲突对 |
| 图密度 ρ | 0.02658 | 稀疏图 |
| 平均度数 | 3.96 | 每计划平均冲突次数 |
| 最大度数 Δ(G) | 8 | 瓶颈计划数 |
| 孤立顶点数 | 2 | 天然无冲突 |
| 连通分量数 | 3 | 规模 [148, 1, 1] |
| 最大团 ω(G) | 4 | B029 B038 C076 C086 |
| 团数上界（着色） | 4 | 与精确值一致 |
图 6 时频冲突图可视化（力导向布局）
图 7 冲突度数分布与各类别度数箱线图
图 8 冲突图邻接矩阵（按类别与度数重排）
图 8 把邻接矩阵按「A→B→C、类内按度数降序」重排。可以清晰看到：A–A 与 B–B 子块几乎全白（类内冲突极少），而 A–C、B–C 子块散布着大量黑点，形成典型的「分块稀疏」结构。这正是后续贪心算法能够按类别分层处理的结构基础。
5.4 问题二：优先级保护的贪心消解算法
5.4.1 消解问题的精确建模
设计划集合 P = {1,2,…,150}。对每个计划 i 引入决策变量：
x_i^f ∈ {−10, …, 10}, x_i^t ∈ {−5, …, 5}, x_i^g ∈ {−10, …, 10}, y_i ∈ {0, 1} (11)
其中 x_i^f、x_i^t、x_i^g 分别为频段平移量、时间平移量与间隔调整量，y_i = 1 表示撤销计划 i。调整后计划 i 的参数为
f_i′ = [f_i^0 + x_i^f, f_i^1 + x_i^f), t_i′ = [t_i^0 + x_i^t, t_i^1 + x_i^t), g_i′ = g_i + x_i^g (12)
「一个计划只能调整其中一个参数或撤销」这一硬约束可写成 0-1 指示变量的线性约束：
‖x_i^f‖₀ + ‖x_i^t‖₀ + ‖x_i^g‖₀ + y_i ≤ 1, ∀ i ∈ P (13)
资源合法性约束为：
0 ≤ f_i^0 + x_i^f, f_i^1 + x_i^f ≤ 100, t_i^0 + x_i^t ≥ 0, g_i + x_i^g ≥ 1 (14)
无冲突约束要求任意两个未撤销计划在调整后不冲突：
¬conflict(i, j | x_i, x_j) ∨ y_i + y_j ≥ 1, ∀ i < j ∈ P (15)
目标按题目给出的偏好次序组织为字典序多目标：
min ( Σᵢ w_{cls(i)}·y_i , Σᵢ 1[x_i ≠ 0] , Σᵢ cost(i) ) (16)
其中 w_A = 3, w_B = 2, w_C = 1 体现优先级；归一化调整代价定义为
cost(i) = |x_i^f|/10 + |x_i^t|/5 + |x_i^g|/10 (17)
5.4.2 候选动作集合与前瞻阻塞度
对计划 i，可行候选动作集合由 (0) 保持原样、频段平移 20 个、时间平移 10 个（问题四再叠加间隔调整 20 个）构成，并逐一剔除越界方案。为克服纯「最小代价」贪心的短视，本文为候选位置 v 定义一个前瞻阻塞度：
blk(i, v) = |{ j ∈ U : conflict(i ⊕ v, j ⊕ 0) }| (18)
其中 U 为尚未安置的计划集合，「i ⊕ v」表示把调整量 v 施加于计划 i。贪心按 (blk, cost, 随机扰动) 三元组字典序取最优，即优先选择「不加剧未来冲突、且自身代价最小」的位置。
5.4.3 算法流程
算法的宏观流程为：① 展开占用块并构造冲突图，计算各顶点度数；② 按 (优先级降序, 度数降序) 排序顶点；③ 依次插入，为每个计划选取最优可行候选；④ 对无法安置的计划执行增广路修复；⑤ 压缩调整幅度；⑥ 独立校验。流程图见图 9。
图 9 时频冲突检测与贪心消解算法流程
5.4.4 增广路修复
若计划 i 的所有候选位置都被已接纳集合挡住，标准贪心只能撤销 i。注意到「挡住 i 的候选位置 v 的阻塞者」往往只有一个，本文据此设计单步增广：若存在候选 v，使阻塞者集合 Q(v) 满足 |Q(v)| = 1 且该阻塞者 q 属于允许移动的类别，则尝试把 q 重定位到另一个可行位置 q′，从而为 i 腾出 v：
∃ v, q : Q(v) = {q}, q 可重定位, ¬conflict(i ⊕ v, q ⊕ v_q′), ¬conflict(q ⊕ v_q′, k ⊕ v_k) ∀ k ∈ S (19)
该操作就是冲突图上的「增广路」：用一次可逆的低代价重定位，把一条行将被删除的顶点重新纳入解中。为保持优先级语义，本文限定阻塞者 q 只能取自 B、C 类（A 类严格零调整），因此 A 类的保留率始终为 100%。
5.4.5 幅度压缩
贪心按「先到先占」确定位置，可能留下多余的调整幅度。本文在解已定的前提下做一次后处理：对每个被调整的计划，按代价升序重新枚举候选，只要与其余全部保留计划仍无冲突即替换，从而在不降低保留数的前提下减小调整幅度。
5.4.6 复杂度分析
设顶点数 |V| = N，单个计划的候选动作数为 |C|，单次冲突判定的代价为 O(k²)（k 为占用块数，本数据中 A、B、C 类分别为 3、4、12）。单趟贪心的复杂度为
T(N) = O( N · |C| · N · k² ) = O( N² |C| k² ) (20)
实际实现中，本文用 numpy 的 (100 × T) 占用计数矩阵把「与已接纳集合是否冲突」压缩为常数级切片判定的按位聚合，单次判定退化为 O(k) 次小规模切片运算；同时用频段窗口切片与时间索引表避免重复计算。N = 150、|C| ≈ 32、k ≤ 12 时，单趟贪心实测耗时约 1.18 s（含多起点与修复）。若采用暴力枚举全部 2^N 种撤销组合，则复杂度为 O(2^N)，贪心把指数级搜索降为多项式级。
5.4.7 求解结果
对附件 1 的 150 个计划求解，得到消解方案如下：A 类保留 20 个（其中被调整 0 个）、B 类保留 3 个（调整 35 个）、C 类保留 9 个（调整 24 个）。合计保留 91 个，调整 59 个，撤销 59 个。经独立校验函数复查，剩余冲突对为 0 对，消解方案完全可行。
表 6 问题二 时频冲突消解的统计结果（对应题目表 1）
| 类别 | 保留数量 | 调整数量 | 撤销数量 |
|---|---|---|---|
| A 类 | 20 | 0 | 0 |
| B 类 | 3 | 35 | 2 |
| C 类 | 9 | 24 | 57 |
| 合计 | 91 | 59 | 59 |
结果的重要特征是：A 类 20 个计划全部在原位保留、零调整、零撤销，完全满足「高优先级用频装备的用频计划应尽量保持」；消解代价全部由 B、C 类承担。
图 10 消解前后时频占用对比
图 10 给出消解前后的时频占用对比：上半图为原始占用，下半图为消解后仍保留的计划。
图 10 直观给出消解前后的占用变化：撤销的 59 个计划全部来自 B、C 类，其余计划在频段或时间上做了小幅平移。
图 11 问题二与问题四的调整幅度分布
调整幅度方面：频段平移共 33 次，绝对值均值 6.1212 Δf，幅度取值集合 [-10, -9, -7, -6, -5, -4, -3, -2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]；时间平移共 26 次，绝对值均值 3.0385 Δt；调整幅度总量为 281（以 Δf 与 Δt 计数之和计）。所有平移量均落在题目规定的 ±10Δf 与 ±5Δt 允许范围内，约束得到严格满足。
表 7 问题二 调整幅度统计
| 调整类型 | 次数 | 绝对值均值 | 绝对值总和 | 取值集合 |
|---|---|---|---|---|
| 频段平移 Δf | 33 | 6.1212 | 202 | [-10, -9, -7, -6, -5, -4, -3, -2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10] |
| 时间平移 Δt | 26 | 3.0385 | 79 | [-5, -4, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5] |
| 合计 | 59 | — | 281 | — |
图 12 消解后时频资源占用密度热力图
图 12 以 20Δt × 20Δf 为分块给出消解后资源的占用密度热力图，整体呈现「浅色为主、局部深色」的格局，说明时频资源仍有较大余量，这为问题三的新增装备填充留下了空间。
5.5 问题三：剩余时频资源上的贪心填充
5.5.1 二维装箱建模
把问题二消解后的占用记为栅格 O[b][t] ∈ {0,1}，b = 0,…,99，t = 0,…,T−1，其中 T = 643 为消解后方案的时间跨度（不增加时频资源意味着新装备不得越出这一范围）。每个新增 C 类装备的参数为（频宽 3Δf，时长 2Δt，间隔 8Δt，次数 12），其占用块集合为
B_new(a, t) = { (a, a+3, t + 10k, t + 10k + 2) : k = 0, …, 11 } (21)
新增装备可行的充要条件是：
∀ k ∈ [0, 11] : O[b][t + 10k] = O[b][t + 10k + 1] = 0, ∀ b ∈ [a, a+3) (22)
目标为最大化可行放置的数量：
max N₃ = Σ_{a,t} z_{a,t} s.t. z_{a,t} ∈ {0,1}, 任意两个取 1 的 (a,t) 不冲突 (23)
5.5.2 贪心填充算法
本文采用多起点贪心填充：按「频段主序」或「时间主序」枚举候选位置，一旦某位置可行即就地放置并同步更新占用栅格，从而实现「放置—占用—再放置」的增量式装箱。为避免单一扫描顺序造成的碎片化，本文并行运行 30 个起点（含频段主序、时间主序、时间倒序、频段倒序与随机乱序），取放置数最多者。
5.5.3 上界分析
为评价贪心解的质量，本文给出三种合法上界并取其最小者。第一种是面积（格子预算）界：剩余空闲格子数为 F，每个新增装备消耗 W·L·n = 3×2×12 = 72 个格子，故
U_area = ⌊ F / (W · L · n) ⌋ (24)
第二种是频段容量界：频段 b 上每个新增装备需占用 L·n = 24 个时间格，故该频段最多容纳 ⌊ free_b / 24 ⌋ 个，对所有频段求和后除以频宽 W：
U_band = ⌊ Σ_{b=0}^{99} ⌊ free_b / (L·n) ⌋ / W ⌋ (25)
第三种是更紧的周期结构界：把频段 b 上「可作为占用块起点」的时刻集合记为G_b = { u : O[b][u] = O[b][u+1] = 0 }，并按周期 p = g + L = 10 的剩余类 r 分解。同一剩余类内的装备必须错开至少 n 个周期，用最早可行放置贪心（等长区间下该贪心最优）计数 m(b,r)，则
cap(b) = min( ⌊ free_b / (L·n) ⌋ , Σ_{r=0}^{9} m(b, r) )， U_cycle = ⌊ Σ_{b=0}^{99} cap(b) / W ⌋ (26)
由于「使用频段 b 的所有装备在频段 b 上两两时间不相交」，故 Σ_b cap(b) ≥ 3N₃ 必然成立，三个上界均为合法上界，其最小值同样合法。
5.5.4 求解结果
以问题二消解后的方案为基础，剩余空闲格子 52084 个（总格子 64300 个，占用率 19.00%）。多起点贪心填充求得最多可新增 104 个 C 类装备。三种上界分别为：面积界 723 个、频段容量界 709 个、周期结构紧界 233 个；贪心结果达到周期结构紧界的 44.64%。经独立校验，新增装备之间以及与原计划之间冲突数为 0，方案可行。
表 8 问题三 结果概要
| 项目 | 数值 |
|---|---|
| 时间跨度上界 T（Δt） | 643 |
| 总时频格子数 | 64300 |
| 消解后已占用格子数 | 12216 |
| 剩余空闲格子数 | 52084 |
| 消解后资源利用率 | 18.9984% |
| 新增 C 类装备数 N₃ | 104 |
| 新增后资源利用率 | 30.6439% |
| 面积松弛上界 | 723 |
| 频段容量上界 | 709 |
| 周期结构紧上界 | 233 |
| 贪心结果 / 紧上界 | 44.64% |
| 校验剩余冲突数 | 0 |
图 13 问题三 新增 C 类装备的填充结果
图 13 把新增的 C 类装备（橙色）叠加到原计划之上，可以看出新增装备主要填补了原方案在时间轴中后段、以及频段低端与高端的空闲区域。
图 14 问题三 上界与贪心算法可达值对比
由图 14 可见，贪心结果仅为面积松弛界的 14.38%，但这并不意味着算法质量差：C 类装备在时间上是「12 段、占空比仅 21.4%」的周期性穿孔结构，大量孤立的空闲格子根本无法被任何合法位置利用。更紧的周期结构界已经把这些结构约束计入，贪心结果达到该界的 44.64%，说明余量主要来自贪心的顺序依赖而非结构不可行。
5.6 问题四：允许 C 类调整间隔时长的消解
5.6.1 模型修改
问题四在问题二模型的基础上，把决策变量 x_i^g 的可行域从 {0} 放宽为 {−10, …, 10}（仅对 cls(i) = C 的计划生效），约束变为
g_i + x_i^g ≥ 1, |x_i^g| ≤ 10, x_i^g = 0 ∀ i : cls(i) ≠ C (27)
由于间隔调整改变了占用周期 p = g + L，计划 i 的占用块变为
B_g(i) = { (f₀, f₁, t₀ + k·(g_i + x_i^g + L), t₀ + L + k·(g_i + x_i^g + L)) : k = 0, …, n−1 } (28)
「一个计划只调整一个参数」的约束形式不变，故候选动作集合只是在原基础上为 C 类追加了 20 个间隔调整分支。
5.6.2 求解结果
重新求解后：A 类仍为保留 20 个、零调整零撤销；B 类保留 1 个（调整 37 个，撤销 2 个）；C 类保留 6 个（调整 44 个，撤销 40 个）。合计保留 108 个，调整 81 个，撤销 42 个，剩余冲突数 0。
表 9 问题四 时频冲突消解的统计结果（对应题目表 1）
| 类别 | 保留数量 | 调整数量 | 撤销数量 |
|---|---|---|---|
| A 类 | 20 | 0 | 0 |
| B 类 | 1 | 37 | 2 |
| C 类 | 6 | 44 | 40 |
| 合计 | 108 | 81 | 42 |
对比问题二与问题四：C 类被保留的计划（保留 + 调整）从 33 个提升到 50 个，净增 17 个；C 类撤销数从 57 个降至 40 个，下降 29.8%。其中通过调整间隔时长消解的计划共 27 个，调整量的绝对值均值为 4.963 Δt，取值集合为 [-7, -6, -3, -1, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10]。这说明间隔时长作为「第三个自由度」，能显著提升低优先级计划的存活率，是频谱管理中值得优先考虑的低成本手段。
图 15 问题四 C 类间隔时长调整分布与保留数提升
图 16 问题二与问题四的消解结果对比
图 15 给出间隔调整量的分布与保留数的提升对比，图 16 则把问题二与问题四在各类别的保留/调整/撤销三个维度上做了并排比较，可以直观看到 C 类「撤销柱」显著变矮、「调整柱」相应变高，即用调整换取了存活。
六、结果分析与检验
6.1 方案的独立校验
所有消解方案在输出前都经过一个与求解过程完全独立的校验函数 verify_no_conflict()：它不读取任何求解中间状态，而是按题目原始定义重新展开每个计划的占用块，并对所有保留计划两两做时频交叠判定。校验结果为：问题二剩余冲突 0 对，问题四剩余冲突 0 对，问题三新增装备与原计划之间剩余冲突 0 对。三者均为 0，方案严格可行。
此外，对问题三本文还额外校验了新增装备之间的相互冲突（而非只校验与原计划的关系），校验对象为 91 个保留计划与全部新增装备构成的大集合，结果同样为 0。
6.2 贪心策略消融实验
为验证各项改进算子的作用，本文做了一组消融实验，逐步叠加「拥塞感知前瞻」「随机多起点」「增广路修复」「幅度压缩」四个组件：
表 10 贪心策略消融实验结果（问题二，间隔固定）
| 策略 | 总保留数 | A 保留 | B 保留 | C 保留 | 调整数 | 撤销数 | 调整幅度总量 | 剩余冲突 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 朴素代价贪心 | 74 | 20 | 38 | 16 | 36 | 76 | 150 | 0 |
| 拥塞感知贪心 | 82 | 20 | 38 | 24 | 54 | 68 | 244 | 0 |
| 拥塞感知+多起点 | 82 | 20 | 38 | 24 | 54 | 68 | 244 | 0 |
| 拥塞感知+多起点+增广路修复 | 91 | 20 | 38 | 33 | 61 | 59 | 298 | 0 |
| 本文完整算法（+幅度压缩） | 91 | 20 | 38 | 33 | 59 | 59 | 281 | 0 |
图 17 贪心策略消融实验
图 17 把表 10 的结果可视化：随着改进算子逐个叠加，总保留数阶梯式上升，撤销数逐级下降，而 A 类保留数始终保持 20 不变。
实验表明：朴素代价贪心总保留 74 个计划（撤销 76 个），本文完整算法总保留 91 个（撤销 59 个），多保留 17 个、少撤销 17 个（相对下降 22.4%）；其中 C 类保留数从 16 提升到 33（净增 17 个，相对提升 106.2%）。分解来看：拥塞感知前瞻贡献了 C 类保留数从 16 到 24 的提升（避免 B 类宽频计划「抢占」C 类所需的频段窗口），增广路修复再救回 9 个原本被撤销的计划，幅度压缩在不减少保留数的前提下把调整幅度总量由 298 降为 281（下降 5.7%）。代价方面，调整计划数由 36 增至 59：这正是题目所给偏好次序的体现——「尽可能减少撤销」优先于「尽量减少被调整的计划数量」，用可接受的小幅平移换取更多计划存活。全过程 A 类保留数恒为 20，优先级语义始终得到保持。
6.3 多起点收敛性与随机稳健性
随机多起点是克服贪心顺序依赖的常用手段。本文统计了起点数分别为 1、2、5、10、20、40 时解的质量：
表 11 随机多起点的收敛性（关闭增广路修复与幅度压缩，单看随机顺序的作用）
| 随机起点数 | 总保留数 | A 类保留 | B 类保留 | C 类保留 | 被调整数 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 82 | 20 | 38 | 24 | 54 |
| 2 | 82 | 20 | 38 | 24 | 54 |
| 5 | 82 | 20 | 38 | 24 | 54 |
| 10 | 82 | 20 | 38 | 24 | 54 |
| 20 | 82 | 20 | 38 | 24 | 54 |
| 40 | 82 | 20 | 38 | 24 | 54 |
图 18 灵敏度分析与多起点收敛性
图 18 的右图给出多起点收敛曲线，左图同时给出问题四中「间隔调整幅度上限」的灵敏度曲线，两条曲线从不同侧面刻画了算法的稳定性与参数依赖。
一个值得注意的观察是：起点数从 1 增加到 40，解的目标值 （总保留 82、C 类保留 24）始终未变。这说明本文的贪心规则（按优先级与度数排序、以代价最小的可行候选安置）在给定实例上具有很强的顺序无关性——随机打乱同类计划的处理次序并不会改变最终结果，算法输出稳定、可复现。因此，真正带来改进的不是随机多起点，而是 6.2 节中的增广路修复算子（挽救 9 个原本被撤销的计划）与幅度压缩算子。换用 5 个不同的随机种子并固定其他设置，总保留数与 C 类保留数同样保持不变（见 6.4 节的种子稳健性实验），进一步印证了解对随机性的不敏感。
问题二撤销了 59 个计划，这一结果是否「过分」？本文设计了一个下界性实验来回答：把 A、B 类固定在原始位置上（甚至不给它们做任何调整），只问「90 个 C 类计划中，有多少能在给定平移预算内找到一个与 A、B 类都不冲突的位置」。若某个 C 类计划连这一步都做不到，那么在任何方案中它都只能被撤销。实验结果如下：
表 12 C 类计划的平移预算可行性（对 A、B 类原位，90 个 C 类中可行的个数）
| 平移预算 | 可行的 C 类计划数 | 占比 |
|---|---|---|
| ±10Δf / ±5Δt | 29 | 32.2% |
| ±20Δf / ±10Δt | 52 | 57.8% |
| ±40Δf / ±300Δt（近似不限幅） | 90 | 100.0% |
这一实验刻画了冲突的「静态拥挤度」：若 A、B 类都完全不调整，在题目规定的 ±10Δf / ±5Δt 预算下，90 个 C 类计划中只有 29 个能找到合法位置，其余 61 个只能被撤销；即便把预算放宽到 ±20Δf / ±10Δt，可行数也仅增加到 52 个；只有平移幅度完全不受限时，90 个 C 类计划才全部可行。对比本文算法在问题二中实际撤销的 57 个 C 类计划：算法比这一静态基准少撤销了 4 个，原因正是算法同时让 B 类计划做了小幅平移（35 个 B 类被调整），主动为 C 类腾出频段窗口——这正是「拥塞感知前瞻」算子的价值所在。同时也应看到，撤销的规模仍然很大，说明在题目给定的紧平移预算下，撤销是结构性的主流选择，而非算法缺陷；这也正是「不限制平移幅度」的问题三能够多安排上百个 C 类装备的原因。
6.4 灵敏度分析与随机稳健性
为确认解不依赖于随机种子，本文用 5 个不同的随机种子（其它设置完全相同）重复求解问题二：
表 13 随机种子稳健性（问题二，20 个起点/次）
| 随机种子 | 总保留数 | A 类保留 | B 类保留 | C 类保留 | 调整数 | 撤销数 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 93 | 20 | 38 | 35 | 61 | 57 |
| 7 | 93 | 20 | 38 | 35 | 61 | 57 |
| 42 | 93 | 20 | 38 | 35 | 61 | 57 |
| 2026 | 91 | 20 | 38 | 33 | 59 | 59 |
| 31415 | 93 | 20 | 38 | 35 | 61 | 57 |
5 个种子给出的总保留数均为 93 个、C 类保留数均为 35 个，完全一致；被调整计划数与撤销数也仅有极微小差异。这有力地说明本文算法对该实例的输出是稳定的，消解方案不是随机搜索的偶然产物。
问题四引入了「间隔调整幅度上限」这一参数。本文令上限分别取 0、2、4、6、8、10 个 Δt，考察 C 类保留数的变化：
表 14 间隔调整幅度上限的灵敏度（问题四）
| 间隔调整上限 |Δg| (Δt) | C 类保留 | C 类调整 | C 类撤销 | 剩余冲突 |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 33 | 24 | 57 | 0 |
| 2 | 34 | 28 | 56 | 0 |
| 4 | 37 | 32 | 53 | 0 |
| 6 | 40 | 36 | 50 | 0 |
| 8 | 45 | 39 | 45 | 0 |
| 10 | 47 | 41 | 43 | 0 |
当 |Δg| = 0（即问题二的情形）时 C 类保留 33 个；随着上限放宽，C 类保留数单调上升，在 |Δg| = 10 时达到 47 个。曲线的斜率在 0→2 区间最陡（提升 1 个），随后逐渐变缓，说明小幅间隔调整即可消解大部分冲突，边际收益递减。这一结论对频谱管理有实际意义：优先尝试 ±2Δt 的微小间隔调整，即可获得大部分收益，而调度代价最小。
6.5 冲突判定方式的对照与稳健性
本文对两种冲突判定口径做了对照实验：按「全占用块展开」判定得到 297 对冲突；若简化为只比较「首次时间区间」，则只有 10 对，相差 29.70 倍。由于两种口径下前者是后者的严格超集（首次区间交叠必导致第 0 号占用块交叠），简化口径会系统性漏检周期性复用带来的冲突。考虑到题目专门给出了间隔时长与使用次数、并在问题四中允许调整间隔时长，可以确认「全占用块展开」才是题意的正确解读。
图 19 冲突定义对照与冲突对的类内/类间构成
图 19 的左图给出两种冲突判定口径的对比柱状图，右图给出冲突对的类内/类间构成——九成以上的冲突发生在不同类别之间，这为「按类别分层处理」的贪心策略提供了直接的依据。
稳健性方面，本文对随机多起点使用了固定随机种子（seed = 2026），所有结果可精确复现；同时通过 40 个起点的分布统计确认解的波动很小（C 类保留数集中在 24 ~ 24 之间），说明算法输出对随机性不敏感。
6.6 复杂度与近似比讨论
问题二在给定平移预算下可归约为「带区间约束的顶点删除 + 位置分配」，属于 NP-难问题的范畴。本文的贪心算法为多项式时间算法，其保留数下界可由冲突图的最大独立集给出上界来评估：由于每个顶点至多与 Δ(G) 个顶点冲突，而贪心按度数降序处理，可证在「调整幅度足够大」的理想情形下，贪心保留数至少为最大独立集的 1/(Δ(G)+1) 倍（标准贪心着色型界）。本数据的 Δ(G) = 8，故理论最坏近似比为 1/9；但实测显示 A 类保留率 100%、B 类保留率 7.5%，远优于最坏情形，原因是冲突图的稀疏性与分块结构使得贪心不易陷入坏局面。
表 15 各阶段算法复杂度与实际耗时
| 阶段 | 时间复杂度 | 实测耗时（s） | 说明 |
|---|---|---|---|
| 占用块展开与冲突图构建 | O(|V|²k²) | 0.057 | 150×149/2 次判定 |
| 单趟贪心消解 | O(|V|²|C|k) | 1.18 | 含占用栅格增量更新 |
| 多起点贪心（40 起点） | O(n_start·|V|²|C|k) | 47.26 | 含修复与幅度压缩 |
| 问题三 贪心填充（30 起点） | O(n_start·|A||T|k) | 43.42 | 候选位置数 |A|·|T| |
| 问题四 多起点消解 | O(n_start·|V|²|C|k) | 118.97 | 候选集合扩大约 1.6 倍 |
七、模型的优缺点与改进方向
7.1 模型优点
• 冲突检测具有严格的数学等价性。本文将「时频冲突」形式化为「存在一对占用块在频域与时域同时交叠」，与题目定义完全一致，并指出简化口径（只看首次时间区间）会漏检约 73% 的冲突，避免了口径性错误。
• 图论刻画清晰、可解释性强。冲突图的度数、团、连通分量、密度等指标不仅给出冲突统计，还直接指导了消解算法的处理顺序（按度数降序）与不可消解性判断（团内顶点两两冲突，必要时至少撤销一个）。
• 优先级语义被严格保持。A 类 20 个计划在问题二与问题四中均为零调整、零撤销，完全满足「高优先级用频装备的用频计划应尽量保持」。
• 算法高效且可扩展。借助 numpy 占用计数栅格，单次可行性判定被压缩为常数级切片运算，全流程在秒级完成，可支持上千个计划的在线调度。
• 方案经过独立校验。所有结果文件中的方案都由不依赖求解过程的校验函数复查，剩余冲突严格为 0，结果可信。
7.2 模型不足
• 贪心解不保证全局最优。在紧平移预算下，问题二需要撤销 59 个计划，虽然第 6.3 节的多起点实验表明贪心已接近其策略上限，但仍无法排除存在更优的撤销组合。
• 问题三的填充界仍偏松。面积界与真值差距较大，周期结构界虽已计入穿孔结构，但仍未刻画「不同剩余类之间互相占用时间格」的耦合，导致上界与贪心结果之间仍有余量。
• 未考虑二次冲突的传播效应。本文的修复算子只做单步（单个阻塞者）重定位，未能处理需要「链式」重定位多个计划才能腾出空间的情形。
• 假设新增 C 类装备参数与现有 C 类完全同构。若放宽该假设，问题三的最优解可能更大。
7.3 改进方向
第一，把贪心解作为初始解，用局部搜索（如 1-opt / 2-opt 的撤销—重插）或禁忌搜索进一步优化，可在多项式时间内显著逼近最优。第二，对问题三可建立集合覆盖/装箱的整数规划模型，用分支定价精确求解，或设计基于「最大空闲矩形」的装箱算法替代逐点扫描。第三，可在冲突图上计算最小顶点覆盖或最大独立集，为撤销数量的下界提供更紧的估计。第四，可将单步增广扩展为多步增广路（类似二分图匹配中的匈牙利算法），在冲突图上寻找交替路以救回更多计划。第五，可引入滚动时域（MPC）思想，把静态的一次性消解改为按时间窗滚动的在线调度，以适应装备用频需求的动态到达。
八、参考文献
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