问题

分析：

这个题要求求出在指定区域内的有多少个整数满足式子——两个整数的平方差

这个题如果按照正常思路分析，这两个整数肯定不会大于它本身的，所以遍历就好了

但时间复杂度太大了，要嵌套三个for循环

——

所以只能另想他法。

我们观察这个平方差的式子是不是可以化成——（a-b)(a+b)

a和b为整数，说明要么是偶数，要么是奇数

当两个同为偶数时，a-b和a+b也为偶数，两个偶数相乘——》为四的倍数（2k乘以2k）

当两个同为奇数时，a-b和a+b为偶数，同上。

如果一个为奇数一个为偶数，a-b和a+b都为奇数，则结果也为奇数

所以得出结论——

平方差的结果要么是四的倍数要么是奇数。

所以只需要在给定范围内判断是不是四的倍数或是奇数就行。

然后开始写代码，准备ac，但——发现时间好像还是超了？

那要再怎么优化呢？

可以直接利用式子算出一个区域里的奇数个数和4的倍数的个数(注意下面长的很像1但比1要长一点的其实是L)

1. 计算区间内奇数数量：

   • 公式：奇数数量 = (r + l) / 2 - l / 2
   • 例如，区间[3,7]中奇数为3,5,7，共3个。代入公式得：(7+1)/2 - 3/2 = 4 - 1 = 3。

2. 计算被4整除的数量：

   • 公式：被4整除的数量 = r / 4 - (l - 1) / 4
   • 例如，区间[4,12]中被4整除的数为4,8,12，共3个。代入公式得：12/4 - (4-1)/4 = 3 - 0 = 3。

具体公式解释：

奇数数量 = (r + l) / 2 - l / 2

被4整除的数量 = r / 4 - (l - 1) / 4

这两个公式，相信有很多人不理解，这里多解释一下：

奇数的计算原理

奇数的分布规律是每隔一个数出现一次。例如：

• 对于范围[1, r]，奇数数量为(r + 1) / 2。例如r=5时，奇数数量为(5+1)/2=3（即1, 3, 5）。
• 对于范围[1, l-1]，奇数数量为l / 2。例如l=3时，l-1=2，奇数数量为2/2=1（即1）。
• 区间[l, r]的奇数数量即为两者之差：(r + 1)/2 - l/2。例如[3, 5]的奇数为3和5，共2个，计算为(5+1)/2 - 3/2 = 3 - 1 = 2。

四的倍数的计算原理

四的倍数的数量可直接通过整数除法计算：

• 对于范围[1, r]，四的倍数数量为r / 4。例如r=8时，四的倍数数量为8/4=2（即4, 8）。
• 对于范围[1, l-1]，四的倍数数量为(l-1) / 4。例如l=5时，l-1=4，四的倍数数量为4/4=1（即4）。
• 区间[l, r]的四的倍数数量为两者之差：r/4 - (l-1)/4。例如[5, 8]的四的倍数为8，计算为8/4 - 4/4 = 2 - 1 = 1。

是否适用于其他的倍数？

是的。对于任意整数k，计算区间[l, r]内k的倍数的数量，通用公式为：

count_k = r / k - (l - 1) / k

代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>

using namespace std;

long long l,r;

int main()
{
    scanf("%lld%lld",&l,&r);
    long long count_odd = (r + 1) / 2 - l / 2;
    long long count_div4 = r / 4 - (l - 1) / 4;
    printf("%lld",count_odd+count_div4);
    return 0;
}

总结：

关键点总结

1. 数学推导替代暴力枚举
   将问题转化为对数的奇偶性和模 4 性质的分析，避免了嵌套循环的 O(n) 时间复杂度。

2. 公式优化复杂度
   直接通过数学公式计算区间内奇数和 4 的倍数的数量，时间复杂度从 O(R-L+1) 优化至 O(1)，可处理 L, R 极大（如 1e18）的情况。

3. 边界处理技巧

   • 计算奇数时用 (R+1)/2 而非 R/2，确保右端点包含。
   • 计算 4 的倍数时用 (L-1)/4 排除左端点的左侧干扰。