第十一届蓝桥杯（省赛）之平面分割
第十一届蓝桥杯（省赛）之平面分割
分析：
一、直线分割平面
问题：直线怎么放置才能使平面被切分得更多？平行还是相交，很明显，肯定是相交。
第一条直线将平面分成2份；
第二条直线与前一条直线相交，第二条直线被前 1 条直线分割成 2 份，增加了 2 个平面。
第三条直线与前两条直线相交，第三条直线被前 1 条直线分割成 3 份，增加了 3 个平面。
…
第n条直线与前 n-1 条直线相交，第 n 条直线被分割成 n 份，根据前面的规律可知则新增 n 个平面。
l i n e ( n ) = l i n e ( n − 1 ) + n = l i n e ( n − 2 ) + n + n − 1 = l i n e ( n − 1 ) + n + n − 1 + n − 2 = . . . = l i n e ( 1 ) + 2 + 3 + 4 + . . . + n − 1 + n = 2 + 2 + 3 + 4 + . . . + n − 1 + n = 1 + ( 1 + n ) × n 2 \begin{aligned} % requires amsmath; align* for no eq. number line(n) & = line(n-1)+n \\ & =line(n-2)+n+n-1\\ & =line(n-1)+n+n-1+n-2\\ & =...\\ & =line(1)+2+3+4+...+n-1+n\\ & =2+2+3+4+...+n-1+n\\ & =1+\frac{(1+n)\times n}{2} \end{aligned} line(n)=line(n−1)+n=line(n−2)+n+n−1=line(n−1)+n+n−1+n−2=...=line(1)+2+3+4+...+n−1+n=2+2+3+4+...+n−1+n=1+2(1+n)×n
二、圆形分割平面
第一个圆将平面分成两份。
第二个圆与前一个圆有 2 个交点，第二个圆被前 1 个圆分成 2 份，平面新增 2 个。
第三个圆与前二个圆有 4 个交点，第三个圆被前 2 个圆分成 4 份，平面新增 4 个。
…
第n个圆与前n-1个圆有 2(n-1) 个交点，第n个圆被前 n-1 个圆分成 2(n-1) 份，平面新增 2(n-1) 个。
r o u n d ( n ) = r o u n d ( n − 1 ) + 2 ( n − 1 ) = r o u n d ( n − 2 ) + 2 ( n − 2 ) + 2 ( n − 1 ) = . . . . . . = r o u n d ( 1 ) + 2 + 4 + . . . + 2 ( n − 2 ) + 2 ( n − 1 ) = 2 + 2 + 4 + . . . + 2 ( n − 2 ) + 2 ( n − 1 ) = 2 + ( 2 + 2 n − 2 ) × ( n − 1 ) 2 = 2 + n ( n − 1 ) \begin{aligned} % requires amsmath; align* for no eq. number round(n) & = round(n-1) + 2(n-1)\\ & = round(n-2) + 2(n-2) + 2(n-1)\\ & = ......\\ & = round(1) + 2 + 4 + ... + 2(n-2) + 2(n-1)\\ & = 2 + 2 + 4 + ... + 2(n-2) + 2(n-1)\\ & = 2 + \frac{(2+2n-2)\times (n-1)}{2}\\ & = 2 + n(n-1) \end{aligned} round(n)=round(n−1)+2(n−1)=round(n−2)+2(n−2)+2(n−1)=......=round(1)+2+4+...+2(n−2)+2(n−1)=2+2+4+...+2(n−2)+2(n−1)=2+2(2+2n−2)×(n−1)=2+n(n−1)
三、20个圆和20条直线
g ( m , n ) g(m,n) g(m,n)：代表 m m m个圆和 n n n条直线最多能将平面分割的份数
1、
m
m
m个圆和0条直线
g
(
m
,
0
)
=
r
o
u
n
d
(
m
)
=
2
+
m
(
m
−
1
)
\begin{aligned} % requires amsmath; align* for no eq. number g(m,0) & = round(m)\\ & = 2 + m(m-1) \end{aligned}
g(m,0)=round(m)=2+m(m−1)
2、
m
m
m个圆和1条直线
直线与圆（不考虑直线与直线）
一个圆将平面切分成 2 份。
第一条直线与圆相交有 2 个交点，直线被圆分成 3 份，新增 2 个平面。
第两条直线与圆相交有 2 个交点，直线被圆分成 3 份，新增 2 个平面。
…
第n条直线与圆相交有 2 个交点，直线被圆分成 3 份，新增 2 个平面。
g ( m , 1 ) = g ( m , 0 ) + 2 m \begin{aligned} % requires amsmath; align* for no eq. number g(m,1) & = g(m,0) + 2m \end{aligned} g(m,1)=g(m,0)+2m
3、
m
m
m个圆和2条直线
g
(
m
,
2
)
=
g
(
m
,
1
)
+
2
m
+
2
\begin{aligned} % requires amsmath; align* for no eq. number g(m,2) & = g(m,1) + 2m + 2 \end{aligned}
g(m,2)=g(m,1)+2m+2
…
n、
m
m
m个圆和
n
n
n条直线
g
(
m
,
n
)
=
g
(
m
,
n
−
1
)
+
2
m
+
n
=
g
(
m
,
n
−
2
)
+
(
2
m
+
n
)
+
(
2
m
+
n
−
1
)
=
g
(
m
,
n
−
3
)
+
(
2
m
+
n
)
+
(
2
m
+
n
−
1
)
+
(
2
m
+
n
−
2
)
=
.
.
.
.
.
.
=
g
(
m
,
1
)
+
(
2
m
+
n
)
+
(
2
m
+
n
−
1
)
+
(
2
m
+
n
−
2
)
+
.
.
.
+
(
2
m
+
2
)
=
g
(
m
,
0
)
+
(
2
m
+
n
)
+
(
2
m
+
n
−
1
)
+
(
2
m
+
n
−
2
)
+
.
.
.
+
(
2
m
+
2
)
+
2
m
=
1
+
m
(
m
−
1
)
+
2
m
n
+
n
(
1
+
n
)
2
\begin{aligned} % requires amsmath; align* for no eq. number g(m,n) & = g(m,n-1) + 2m + n\\ & = g(m,n-2) + (2m + n)+ (2m + n-1)\\ & = g(m,n-3) + (2m + n) + (2m + n-1) + (2m + n - 2)\\ & = ......\\ & = g(m,1) + (2m + n) + (2m + n-1) + (2m + n - 2) + ...+ (2m + 2)\\ & = g(m,0) + (2m + n) + (2m + n-1) + (2m + n - 2) + ...+ (2m + 2) + 2m\\ & = 1 + m(m-1) + 2mn +\frac{n(1+n)} {2} \end{aligned}
g(m,n)=g(m,n−1)+2m+n=g(m,n−2)+(2m+n)+(2m+n−1)=g(m,n−3)+(2m+n)+(2m+n−1)+(2m+n−2)=......=g(m,1)+(2m+n)+(2m+n−1)+(2m+n−2)+...+(2m+2)=g(m,0)+(2m+n)+(2m+n−1)+(2m+n−2)+...+(2m+2)+2m=1+m(m−1)+2mn+2n(1+n)
参考文献
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