【动态规划】P4933 大师|普及+

闻缺陷则喜何志丹

949人浏览 · 2025-10-24 07:00:00

闻缺陷则喜何志丹 · 2025-10-24 07:00:00 发布

本文涉及知识点

C++动态规划

大师

题目背景

建筑大师最近在跟着数学大师 ljt12138 学数学，今天他学了等差数列，ljt12138 决定给他留一道练习题。

题目描述

ljt12138 首先建了 $n$ 个特斯拉电磁塔，这些电塔排成一排，从左到右依次标号为 $1$ 到 $n$ ，第 $i$ 个电塔的高度为 $h [i]$ 。

建筑大师需要从中选出一些电塔，然后这些电塔就会缩到地下去。这时候，如果留在地上的电塔的高度，从左向右构成了一个等差数列，那么这个选择方案就会被认为是美观的。

建筑大师需要求出，一共有多少种美观的选择方案，答案模 $998244353$ 。

注意，如果地上只留了一个或者两个电塔，那么这种方案也是美观的。地上没有电塔的方案被认为是不美观的。

同时也要注意，等差数列的公差也可以为负数。

输入格式

第一行一个正整数 $n$ 。

第二行 $n$ 个非负整数，第 $i$ 个整数是第 $i$ 个电塔的高度 $h [i]$ 。

输出格式

输出一个整数，表示美观的方案数模 $998244353$ 的值。

样例 #1

样例输入 #1

8
13 14 6 20 27 34 34 41

样例输出 #1

样例 #2

样例输入 #2

100
90 1004 171 99 1835 108 81 117 141 126 135 144 81 153 193 81 962 162 1493 171 1780 864 297 180 532 1781 189 1059 198 333 1593 824 207 1877 216 270 225 1131 336 1875 362 234 81 288 1550 243 463 1755 252 406 261 270 279 288 1393 261 1263 297 135 333 872 234 881 180 198 81 225 306 180 90 315 81 81 198 252 81 297 1336 1140 1238 81 198 297 661 81 1372 469 1132 81 126 324 333 342 81 351 481 279 1770 1225 549

样例输出 #2

提示

设 $v$ 为最高的电塔高度。

对于前 $30\%$ 的数据，$n \le 20 $。

对于前 $60\%$ 的数据， $\le 100$ ， $\le 2 \times 10^3$ 。

对于另外 $20\%$ 的数据，所有电塔的高度构成一个等差数列。

对于 $100\%$ 的数据， $\le 10^3$ ， $\leq2 \times 10^4$ 。

动态规划

动态规划的状态表示

dp[i][s] 表示以h[i]结束，s为公差的长度至少2的等差数列的数量。
空间复杂度：O(nn)

动态规划的填表顺序

i从0到大枚举数列的最后一个数，j从小到大枚举数量的倒数第二个数

动态规划的转移返程

s= h[i]-h[j]
dp[i][s] =1 + dp[j][s]
注意：如果dp[j][s]不存在，则不加。避免空间溢出。
单个状态时间复杂度：O(1)
总时间复杂度：O(nn)
注意：可能存在h[j1]==h[j2]，故处理完dp[i]后，再统一更新ans。

动态规划的初始值

无

动态规划的返回值

$\sum$ dp + h.size()

代码

核心代码

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>

#include <bitset>
using namespace std;

template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {
	in >> pr.first >> pr.second;
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) ;
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);
	return in;
}

template<class T = int>
vector<T> Read() {
	int n;
	scanf("%d", &n);
	vector<T> ret(n);
	for(int i=0;i < n ;i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}

template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}

template<int MOD = 1000000007>
class C1097Int
{
public:
	C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD)
	{

	}
	C1097Int  operator+(const C1097Int& o)const
	{
		return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);
	}
	C1097Int& operator+=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int& operator-=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int  operator-(const C1097Int& o)
	{
		return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);
	}
	C1097Int  operator*(const C1097Int& o)const
	{
		return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
	}
	C1097Int& operator*=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int  operator/(const C1097Int& o)const
	{
		return *this * o.PowNegative1();
	}
	C1097Int& operator/=(const C1097Int& o)
	{
		*this /= o.PowNegative1();
		return *this;
	}
	bool operator==(const C1097Int& o)const
	{
		return m_iData == o.m_iData;
	}
	bool operator<(const C1097Int& o)const
	{
		return m_iData < o.m_iData;
	}
	C1097Int pow(long long n)const
	{
		C1097Int iRet = 1, iCur = *this;
		while (n)
		{
			if (n & 1)
			{
				iRet *= iCur;
			}
			iCur *= iCur;
			n >>= 1;
		}
		return iRet;
	}
	C1097Int PowNegative1()const
	{
		return pow(MOD - 2);
	}
	int ToInt()const
	{
		return (m_iData + MOD) % MOD;
	}
private:
	int m_iData = 0;;
};


class Solution {
public:
	typedef  C1097Int<998244353> BI;
	int Ans(const vector<int>& h) {
		const int N = h.size();
		vector<unordered_map<int, BI>> dp(N);
		BI ans = N;
		for (int i = 0; i < N; i++) {
			for (int j = 0; j < i; j++) {
				const int s = h[i] - h[j];
				dp[i][s] += 1;
				if (dp[j].count(s)) {
					dp[i][s] += dp[j][s];
				}
			}
			for (const auto& [tmp, c] : dp[i]) {
				ans += c;
			}
		}
		return ans.ToInt();
	}
};

int main() {
#ifdef _DEBUG
	freopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG	
	int n;
	cin >> n;
	auto h = Read<int>(n);
	auto res = Solution().Ans(h);
	cout << res << endl;

#ifdef _DEBUG		
	/*printf("a0=%d", a0);*/
	//Out(h, "h=");
#endif // DEBUG		
	return 0;
}