01 阻容移相

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一、一阶阻容移相

  这是一个一阶RC低通电路，   对于电路的传递函数，  可以使用线性电路电抗模型分压电路来得到。 对于电容上电压的传递函数，  可以使用阻抗和容抗的分压来计算，  经过化简， 可以得到电路的频率特性。

  首先， 在 LTspice电路仿真软件中，  设置电压源为交变电压源，  从10Hz， 到100kHz， 绘制电路的频率特性。  仿真结果显示， 在100kHz ， 系统相移接近 90°， 幅度衰减大约 -36dB。  读取 LTspice仿真数据， 下面对照前面所得到的公式计算的数据。

▲ 图1.1.1 单阶RC电路传递函数

from headm import *

gain, ang = tspload('a', 'gain', 'ang')

R1 = 1e3
C1 = 0.1e-6;

Fomiga = 1/(1j*gain[0]*2*pi*R1*C1+1)

gain1 = 20*log(abs(Fomiga))/log(10)
ang1 = angle(Fomiga)*180/pi

plt.subplot(2,1,1)
plt.semilogx(gain[0], gain[1], lw=3, label='LTspice')
plt.semilogx(gain[0], gain1, lw=3, label='F(j*omiga)')

plt.xlabel("Frequency", color="steelblue", fontsize=16)
plt.ylabel("Gain(dB)", color="steelblue", fontsize=16)
plt.title('Gain')
plt.legend(loc='upper right')
plt.grid(True)
plt.tight_layout()

plt.subplot(2,1,2)
plt.semilogx(gain[0], ang[1], lw=3, label='LTspice')
plt.semilogx(gain[0], ang1, lw=3, label='F(j*omiga)')
plt.xlabel("Frequency", color="steelblue", fontsize=16)
plt.ylabel("Angle", color="steelblue", fontsize=16)
plt.legend(loc='upper right')
plt.title("Phase")
plt.grid(True)
plt.tight_layout()

plt.show()

  使用前面电抗分压公式计算每个频率下电路对应的增益和相移数值，  可以看到， 与 LTspice仿真结果是相同的。

▲ 图1.1.2 对比LTspice与公式计算结果

二、三阶RC电路

  在LTspice仿真软件中搭建三阶RC电路。  其中，  每一阶对应的RC常数都是相同的。  只是， 从前到后， 对应的电阻阻值每次都提升10倍。  由此，使得三阶电路对应的特性相当于三个单阶RC电路传递函数的叠加。  可以看到， 相移达到了270度， 是单阶的三倍。  电路衰减也是单阶RC衰减增益dB 数值的三倍。

  手工推导三阶RC电路的传导函数不太容易。  下面通过 Python中的符号数学函数库进行推导。  由此， 便可以得到电容C3上电压对应的传递函数表达式。 这是一个关于频率的三次复数有理分式。  通过这个公式计算出的电路频率特性与LTspice仿真结果是相同的。  这个对比结果，反过来 也说明前面推导出来计算公式是正确的。

▲ 图1.2.1 对照公式结果与是LTspice仿真结果

▲ 图1.2.2 对比两个三阶RC电路的特性

  最后， 作为对比，  将三阶RC电路中的每个环节的 RC常数都设置为相同， 三个分压电阻数值相同。  利用 LTspice获得电路的频率特性。  与前面电路对比，  可以看到， 在高频和低频， 两个电路频率特性是相同的。  但是在中频部分， 两个电路的频率特性出现了差别。 三阶RC中， 电阻相差10倍的情况， 对应的线路频率特性拐点更明显。 显示了电路的品质因数更大一些。    最后， 对比一下两个电路的传递函数。 可以看到分子是相同的， 分母中， 频率的三次项和常数项是相同的。 区别在与频率的二次项和一次项。

from headm import *
from sympy                  import symbols,simplify,expand,print_latex
from sympy                  import *

o,R1,C1 = symbols("omega, R_1, C_1")
R2,C2,R3,C3 = symbols("R_2, C_2, R_3, C_3")

R1 = 1e3
C1 = 0.1e-6
R2 = 10e3
C2 = 0.01e-6
R3 = 100e3
C3 = 0.001e-6

X3 = 1/(1j*o*C3)
RX3 = R3+X3

X2 = 1/(1j*o*C2)
XRC233 = X2*RX3/(X2+RX3)

XRC2233 = R2+XRC233
X1 = 1/(1j*o*C1)
XRC12233 = X1*XRC2233/(X1+XRC2233)

F1 = XRC12233/(R1+XRC12233)
F2 = XRC233/(R2+XRC233)*F1
F3 = X3/(R3+X3)*F2

result = simplify(F3)

mstr = latex(result)
printf(mstr)
_=tspexecutepythoncmd("msg2latex")

 

※ 总  结 ※

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  本文测试了高阶 RC电路。  利用LTspice仿真了电路的频率特性， 并推导了系统的传递函数。 通过系统传递函数计算的结果与LTspice仿真结果是相同的。

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● 相关图表链接:

• 图1.1.1 单阶RC电路传递函数
• 图1.1.2 对比LTspice与公式计算结果
• 图1.2.1 对照公式结果与是LTspice仿真结果
• 图1.2.2 对比两个三阶RC电路的特性