《图论与网络优化》学习笔记（第1-5章）

上课时间：2023年10月——2024年1月
上课地点：国防科技大学
授课老师：戴丽
教材：戴丽.《图论与网络优化》
注：部分笔记根据自己的理解进行改动，可能不是很严谨，但便于理解。

第一章 图论发展历史

1.1 图论的起源与发展

1736年，Euler研究并解决了konigsberg七桥问题（格林森堡七桥问题）。20世纪图论经历了一场爆炸性的发展，1936年第一本图论著作《有限图和无限图理论》诞生。

• 电网络中的图论
• 有机化学中的图论
• 四色问题

1.2 图论的现状与应用

图论具有很高的实用价值，例如：地图导航、人物关系图、蛋白质网络图、无人机集群网络图等。

第二章 基本概念与运算

2.1 图的定义

图的组成：
图：图 $G$ 是一个有序的三元组，记作 $G=<V(G),E(G),\psi (G)>$ 。
顶点集：表示为 $V(G)$ ，顶点数表示为 $\nu (G)$ 。
边集：表示为 $E(G)$ ，边数表示为 $ϵ(G)$ 。
关联函数：表示为 ψ(G)={uv∣u∈V(G),v∈V(G),u≠v}\psi(G) = \{uv | u \in V(G), v \in V(G), u \neq v\}ψ(G)={uv∣u∈V(G),v∈V(G),u=v} ，也就是顶点对表示的边集。

关联，端点，相邻：设 $e$ 是图 $G$ 中的边， $u,v$ 为顶点，且 $\psi (e)=uv$ ，则称 $e$ 与 $u$ 及 $v$ 关联，称 $u$ 和 $v$ 是 $e$ 的端点，称 $u$ 与 $v$ 是相邻的。
邻域：图 $G$ 中所有与顶点 $\nu$ 相邻的顶点的集合称为 $\nu$ 的邻域，记作 $N(\nu )$ 。
环：两个端点重合的边称为环。
连杆：两个端点不重合的边称为连杆。
$k$重边：连接同一对顶点的 $k(k\ge 2)$ 条边称为 $k$重边。
单边：若一对顶点之间只有一条边，该边称为单边。
简单图：既没有环，也没有重边的图，称为简单图。

度：与顶点 $v$ 关联的边的数目称为顶点的度，记作 $d(v)$ 。
度序列：若 $v_1,v_2,...,v_{\nu }$ 为图的全部顶点，则 $(d(v_1),d(v_2),...,d(v_{\nu }))$ 为图的度序列。
孤立点：度为 0 的顶点称为孤立点。
悬挂点：度为 1 的顶点称为悬挂点。
悬挂边：与悬挂点相关联的边称为悬挂边。
偶点：度为偶数的顶点称为偶点。
奇点：度为奇数的顶点称为奇点。
最大度：图 $G$ 中顶点度的最大值，记作 $\Delta (G)$ 。
最小度：图 $G$ 中顶点度的最小值，记作 $\delta (G)$ 。

定理1 握手引理 对于任意图 $G$ ，均有 ${\sum }_{v\in V}d(V)=2ϵ$ 。（顶点的度数和等于边数的两倍）

图序列：简单图的度序列称为图序列。
同构：如果能够在两个图 $G_1$ 和 $G_2$ 的顶点集之间建立一一对应关系，并且每对顶点之间的边数对应相等，则称 $G_1$ 和 $G_2$ 是同构的，表示为 $G_1\approxeq G_2$ 。

定理2 （给出一个顶点度的序列，判断能否构成图）
非负整数序列 $(d_1,d_2,...,d_{\nu })(d_1\ge d_2\ge ...,\ge d_{\nu })$ 是图序列当且仅当 ${\sum }_{i=1}^{\nu }{d}_i$ 是偶数，并且对于一切整数 $k(1\le k\le \nu -1)$ ，有 ∑i=1kdi≤k(k−1)+∑i=k+1νmin{k,di}\sum_{i=1}^kd_i\le k(k-1)+\sum_{i=k+1}^{\nu}min\{k,d_i\}∑i=1k​di​≤k(k−1)+∑i=k+1ν​min{k,di​} 。

2.2 子图和连通分支

子图相关概念：
子图：设 $H$ 和 $G$ 是两个图，若 $V(H)\subseteq V(G)$ 且 $E(H)\subseteq E(G)$ ，则称 $H$ 为 $G$ 的子图，记作 $H\subseteq G$ 。
图的相等：两个图的顶点和边都对应相等，则称 $H$ 与 $G$ 相等，记作 $H=G$ 。
真子集：若 $H\subseteq G$ 且 $H\ne G$ ，则称 $H$ 是 $G$ 的真子图，记作 $H\subset G$ 。
支撑子图 / 生成子图：若图 $H$ 包括了图 $G$ 全部顶点和部分边，则称 $H$ 是 $G$ 的支撑子图。
基础简单图：不含环且不含重边的图为基础简单图。
导出子图：由图 $G$ 的部分顶点或部分边导出的子图。
顶点导出子图：取出图 $G$ 的部分顶点，连接两端都与这些顶点相邻的边，生成顶点导出子图 $H$ 。
边导出子图：取出图 $G$ 的部分边，加入这些边相邻的顶点，生成边导出子图 $H$ 。

连通分支相关概念：
途径：图 $G$ 的途径是一个有限的非空序列 $W=v_0{e}_1{v}_1{e}_2{v}_2...e_k{v}_k$ ，其中 $v_n$ 为 $G$ 中的顶点， $e_n$ 为 $G$ 中的边，也可简化记为 $W=v_0{v}_1{v}_2...v_k$ 。 $v_0$ 称为 $W$ 的起点， $v_k$ 称为 $W$ 的终点，其他的点称为内部点， $k$ 称为 $W$ 的长。
迹：如果途径 $W$ 的边互不相同，则 $W$ 称为迹。（允许经过同一顶点）
链：如果途径 $W$ 的顶点互不相同，则 $W$ 称为链。（链必然也是迹）一个顶点也是一条链
闭途径：起点与终点重合的途径。
闭迹：起点与终点重合的迹。
圈：起点、内部点互不相同的闭迹称为圈，长为 $k$ 的圈称为$k$圈。 $k$ 为奇数则为奇圈， $k$ 为偶数则为偶圈。
连通图：若图 $G$ 中存在 $(u,v)$ 链，则称顶点 $u$ 和 $v$ 在图 $G$ 中是连通的。图中所有顶点都互相连通的图称为连通图。
连通分支：依据连通性将顶点集 $V$ 划分为 $V_1,V_2...V_{\omega }$ ，导出子图 $G[V_1],G[V_2]...G[V_{\omega }]$ 称为 $G$ 的连通分支。 $\omega (G)$ 表示图 $G$ 的连通分支数。
距离：顶点 $u$ 和 $v$ 之间的最短链 $(u,v)$ 的长为 $u,v$ 之间的距离，记作 $d(u,v)$ 。

2.3 重要图类

完全图：每对顶点都相邻的简单图为完全图，记作 $K_n$ 。
空图：边集为空的图。
平凡图：图中只有一个顶点的图。
非平凡图：不是平凡图的一切图。（顶点数大于1）

练习 证明：在任意6个人的聚会上，要么有3个人互相认识，要么有3个人互相不认识。

正则图：每个顶点的度都相等的图称为正则图。每个顶点的度都为 $k$ 的正则图称为 $k$正则图。
$\tau 1$法则（偶数正则图生成法则）：
$\tau 2$法则（奇数正则图生成法则）：

定理1 $n$ 阶 $k$正则简单图存在的充要条件是 $k\le n-1$ 且 $nk$ 为偶数。

练习 证明： $n$ 阶$k$正则图一定存在，当且仅当对于任意的正整数 $n$ ，若 $nk$ 为偶数，且 $n\ge k+1$ 。

二部图：设图 $G$ 的顶点集可以划分成两个子集 $X$ 和 $Y$ ，使得 $G$ 中每条边的一个端点在 $X$ 中，另一个端点在 $Y$ 中，则称 $G$ 图为二部图，记作 $G=(X,Y,E)$ 。
完全二部图：若 $X$ 中每个顶点与 $Y$ 中每个顶点之间都恰有一条边，且 $|X|=m\ne 0$ ， $|Y|=n\ne 0$ ，则称二部图 $G$ 为完全二部图，记作 $K_{m,n}$ 。

定理2 二部图的判断
图 $G$ 是二部图，当且仅当 $G$ 中不含奇圈。

2.4 有向图

有向图的组成：
有向图：有向图 $D$ 是一个有序三元组，记作 $(V(D),A(D),{\psi }_D)$ 。
顶点集：记作 $V(D)$ ，其元素为 $D$ 的顶点。
弧集：记作 $A(D)$ ，其元素为 $D$ 的弧（即有向边）。
关联函数：表示弧 $a$ 与有序顶点 $(u,v)$ 对之间的关系，记作 ${\psi }_D(a)=(u,v)$ ，其中 $u$ 称为 $a$ 的尾， $v$ 称为 $a$ 的头。

基础图：将有向图 $D$ 的弧的方向都去掉，称为是 $D$ 的基础图。
定向图：给无向图 $G$ 的边加上方向，称为是 $G$ 的定向图。
入弧、出弧、入度、出度：以顶点 $v$ 为头（指向 $v$ ）的弧称为入弧；以顶点 $v$ 为尾（离开 $v$ ）的弧称为出弧。顶点 $v$ 的入弧总数称为顶点 $v$ 的入度，记作 $d_D^{-}(v)$ ；顶点 $v$ 的出弧总数称为顶点 $v$ 的出度，记作 $d_D^{+}(v)$ 。

定理 对于任何有向图 $D$ ，所有顶点的入度总和等于出度总和，即 $\sum _{v\in V}{d}_D^{-}(v)=\sum _{v\in V}{d}_D^{+}(v)=ϵ(D)$ 。

回路相关概念：
有向途径：将途径概念中的图 $G$ 替换为有向图 $D$ ，边 $e$ 替换为弧 $a$ ，则 $W$ 为有向途径。其中， $v_0$ 称为 $W$ 的起点， $v_k$ 称为 $W$ 的终点， $k$ 称为 $W$ 的长。
有向闭途径：起点与终点相同的途径。
有向迹：弧互不相同的有向途径。
有向链 / 有向路：顶点互不相同的有向途径。
有向闭迹/回路：起点与终点重合的有向迹。

强连通概念：
强连通：若在 $D$ 中既存在 $(u,v)$ 路，又存在 $(v,u)$ 路，则称 $u$ 和 $v$ 在 $D$ 中是强连通的。（两点之间互相可到达）
强连通分支：由强连通关系确定顶点集 $V(D)$ 的非空划分 $V_1,V_2,...,V_{\omega }$ ，它们在 $D$ 中所导出的顶点子图 $D[V_1],D[V_2],...,D[V_{\omega }]$ 称为 $D$ 的强连通分支。
强连通有向图：只有一个强连通分支的有向图称为强连通有向图。

2.5 矩阵表示

邻接矩阵： $\nu$ 阶图 $G$ 的邻接矩阵 $A(G)=(a_{ij})$ 是一个 $\nu \times \nu$ 矩阵，其中 $a_{ij}$ 等于第 $i$ 个顶点与第 $j$ 个顶点之间的边数。
有向图的邻接矩阵：在邻接矩阵的基础上，$a_{ij}$ 等于以第 $i$ 个顶点为尾、以第 $j$ 个顶点为头的弧数。

邻接矩阵的性质：
（1）$A(G)$ 是一个以非负整数为元素的 $\nu$ 阶对称矩阵，即 $A^T(G)=A(G)$ 。
（2） $G$ 中第 $i$ 个顶点的度等于 $2a_{ii}+{\sum }_{j\ne i}{a}_{ij}$ 。（对角线上为环）
（3）图 $G$ 中多个连通分支的邻接矩阵可以表示为对角块的形式。

有向图邻接矩阵的性质：
（1） $A(D)$ 是一个以非负整数为元素的 $\nu$ 阶方阵，但不一定是对称的。
（2） $D$ 中第 $i$ 个顶点的出/入度等于第 $i$ 行/列元素之和。
（3）有向图 $D$ 中多个连通分支的邻接矩阵可以表示为对角块的形式。

定理 邻接矩阵的 r 次方 $A^r(G)/A^r(D)$ 表示对应顶点之间长度为 r 的不同途径的个数。

Laplace拉普拉斯矩阵：设 $G$ 为非空无环图， $A(G)$ 为图 $G$ 的邻接矩阵，对角矩阵 $D(G)$ 的对角线上元素为对应顶点的度，则称 $L(G)=D(G)-A(G)$ 为图 $G$ 的Laplace矩阵。

Laplace矩阵的性质：
（1）Laplace矩阵对角线上的值为顶点的度，非对角线上的值为对应顶点之间边数的负数。
（2）Laplace矩阵每行元素的和为 0 。
（3）Laplace矩阵的 0 特征值重数是图的连通分支个数 $\omega$ 。（其特征值大于等于0，且一定包含0）

关联矩阵：设 $G$ 是具有 $\nu$ 个顶点和 $ϵ$ 条边的非空无环图， $G$ 的关联矩阵 $M(G)=(m_{ij})$ 是一个 $\nu \times ϵ$ 矩阵，其中 $m_{ij}$ 为 1 表示第 $i$ 个顶点与第 $j$ 条边关联，否则为 0。
有向图的关联矩阵：在关联矩阵的基础上， $m_{ij}$ 为 1 表示第 $i$ 个顶点为第 $j$ 条边的尾，为 -1 表示第 $i$ 个顶点为第 $j$ 条边的头，否则为 0。

关联矩阵的性质：
（1） $M(G)$ 的每列恰好包含两个1。
（2） $M(G)$ 中每行所包含的1的个数等于对应顶点的度。
（3）非空无环图 $G$ 中多个连通分支的关联矩阵可以表示为对角块的形式。

有向图的关联矩阵的性质：
（1） $M(D)$ 的每列恰好包含一个 1 和一个 -1，其他为 0。
（2） $M(D)$ 中每行所包含的 1 的个数等于对应顶点的出度，所包含的 -1 的个数等于对应顶点的入度。
（3）非空无环有向图 $D$ 中多个连通分支的关联矩阵可以表示为对角块的形式。

最短路径相关概念：
权：若图中的每一条边 $e$ 都对应于一个实数 $W(e)$ ，则 $W(e)$ 称为边 $e$ 的权。
无向网络：带权的无向图称为无向网络。
有向网络：带权的有向图称为有向网络。
正权网络：若网络的每条边的权都为正数，则称为正权网络。
最短路：一条路上的所有边对应的实数之和 $\sum W(e_i)$ 为路的权。对于顶点 $v_i$ 和 $v_j$ ，在网络所有的 $(v_i,v_j)$ 路中，权最小的路称为 $(v_i,v_j)$ 之间的最短路。

Dijkstra算法：

2.6 运算

边的删除：$G-F$ 表示从图 $G$ 中将边集 $F$ 删除，若 F={e}F = \{e\}F={e} 则可简写为 $G-e$ 。（删除边操作后得到的必然是支撑子图）
边的添加：$G+F$ 表示在图 $G$ 中添加边集 $F$ 。
顶点的删除：$G-S$ 表示从图 $G$ 中删除顶点集 $S$ 及与 $S$ 中顶点关联的所有边后得到的图。
顶点的添加：$G+S$ 表示在图 $G$ 中添加顶点集 $S$ 。
图的交：$G_1\cap G_2=(V_1\cap V_2,E_1\cap E_2)$
图的并：$G_1\cup G_2=(V_1\cup V_2,E_1\cup E_2)$
图的收缩：设 $e=uv$ 是图 $G$ 的一条连杆，在 $G$ 中去掉 $e$ ，把顶点 $u$ 和 $v$ 合并为一个新顶点，将除 $e$ 以外其他与顶点 $u,v$ 关联的边都与新顶点关联，就完成了图的收缩，记作 $G\cdot e$ 。
图的剖分：去掉边 $e$ ，然后添加一个顶点，分别与原先 $e$ 的两个端点连边，就完成了对边 $e$ 的剖分。
笛卡尔积：设 $G_1$ 和 $G_2$ 分别为两个图，则它们的笛卡尔积表示为 $G_1\times G_2=（V_1\times V_2，E_1\times E_2）$ 。（笛卡尔积可用于生成 $n$立方体）

第三章 树及其算法

3.1 树和森林

树：连通且不含圈的图称为树，通常用 $T$ 表示树。
n阶树：含有$n$个顶点的树。
森林：不含圈的图（无圈图），每个连通分支都是树。
支撑树：若图 $G$ 的支撑子图 $T$ 是树，则称 $T$ 为 $G$ 的支撑树。

从图中获得支撑树的方法：
破圈法：将连通图 $G$ 中的圈上的任意一条边删除，重复这个过程直到无圈，得到一个支撑树。
避圈法：从空图出发，每次添加一条确保无圈的边，重复这个过程直到加入所有顶点且连通，得到一个支撑树。

定理1 图 $G$ 有支撑树当且仅当 $G$ 连通

定理2 树的六个等价定义
设 $T$ 是 $\nu$ 阶图，下列命题等价：

1. $T$ 是树；
2. $T$ 是无环图，且 $T$ 的任何两个顶点间有唯一一条链；
3. $T$ 是无圈图，且有 $\nu -1$ 条边；
4. $T$ 是连通图，且有 $\nu -1$ 条边；
5. $T$ 是连通图，但 $\forall e\in E(T)$ ， $T-e$ 是非连通图；
6. $T$ 是无圈图，但添加任何一条边后得到的图中将含有唯一的圈。
   （证明方式：1 $\Rightarrow 2\Rightarrow 3\Rightarrow 4\Rightarrow 5\Rightarrow 6\Rightarrow$ 1）

推论一：若树 $T$ 的阶数 $\nu \ge 2$，则 $T$ 至少有两个悬挂点。

推论二：设 $G$ 有 $\nu$ 个顶点， $ϵ$ 条边， $\omega$ 个连通分支，则 $G$ 是森林当且仅当 $ϵ=\nu -\omega$ 。

常用的证明方法：反证法、数学归纳法、分类讨论法、极大极小值原则

3.2 支撑树的计数（给定一个图，判断其互不同构的支撑树的个数）

表示：在图 $G$ 中，互不同构的支撑树的个数记作 $\tau (G)$ 。

1. 公式法（递推公式）：

定理3 设 $e$ 是 $G$ 的连杆，则 $\tau (G)=\tau (G-e)+\tau (G\cdot e)$ 。
eg.:

2. 矩阵-树定理：

定理4 设 $G$ 为非空无环连通图，则 $\tau (G)=|L_i(G)|$ ，其中 $L_i(G)$ 表示删去Laplace矩阵 $L(G)$ 的第 $i$ 行和第 $i$ 列后得到的矩阵。

3. $n$ 阶完全图的支撑树个数：

定理5 $n$ 阶完全图 $K_n$ 的互不相同的支撑树个数 $\tau (K_n)=n^{n-2}$ 。

3.3 树上点和边的性质

割边：图 $G$ 中使 $\omega (G-e)>\omega (G)$ 的边 $e$ 称为 $G$ 的割边。（使连通分支个数增加）

引理1（1） $\forall e\in E(G)$ ，有 $\omega (G)\le \omega (G-e)\le \omega (G)+1$ 。
引理1（2） $e$ 是 $G$ 的割边 $\iff \omega (G-e)=\omega (G)+1$ 。

定理1 $e\in E(G)$ 是图 $G$ 的割边，当且仅当 $e$ 不在 $G$ 的任何圈上。

利用割边可以把树的等价定义第五条表述为： $T$ 为树 $\iff T$ 的每条边都是割边的连通图。

边割：将顶点集 $V(G)$ 划分为非空子集 $S$ 和 $\bar{S}$ ，边割表示 $S$ 与 $\bar{S}$ 之间所有的边，即 [S,Sˉ]={uv∈E(G)∣u∈S,v∈Sˉ}[S, \bar{S}] = \{uv \in E(G) | u \in S, v \in \bar{S}\}[S,Sˉ]={uv∈E(G)∣u∈S,v∈Sˉ}
极小边割 / 补圈 / 余圈：任意真子集都不再是边割的边割。
k-边割：含有 $k$ 条边的边割。

定理2 设 $G$ 为连通图，则： $G$ 的边割 $[S,\bar{S}]$ 是补圈 $\iff G[S]$ 和 $G[\bar{S}]$ 都连通。

推论1 图 $G$ 的边割 $[S,\bar{S}]$ 或者是补圈，或者是一些两两不交的补圈的并。

补树：设 $G$ 是连通图， $T$ 是 $G$ 的一个支撑树，则称补图 $\bar{T}(G)$ 为 $G$ 的补树，记作 $\bar{T}$ 。

定理3 设 $T$ 是连通图 $G$ 的支撑树， $e\in E(T)$ ，则
（1）补树 $\bar{T}$ 不含有任何极小边割；
（2） $\bar{T}+e$ 中含有唯一的极小边割。

割点：把图 $G$ 的边集 $E$ 分为两个非空子集 $E_1$ 和 $E_2$ ，使 $G[E_1]$ 和 $G[E_2]$ 有唯一的公共顶点，则该点为图 $G$ 的割点。

引理2（1） 若顶点 $v$ 满足 $\omega (G-v)>\omega (G)$ ，则 $v$ 是 $G$ 的割点。
引理2（2） 若 $G$ 的割点 $v$ 上无环，则 $\omega (G-v)>\omega (G)$ 。

定理4 树 $T$ 的顶点 $v$ 是割点，当且仅当 $d(v)>1$ 。

3.4 最小支撑树

最小支撑树：树上所有边权之和为树的权，在图 $G$ 的所有支撑树中，权最小的支撑树称为最小支撑树。

最小支撑树的生成算法：
Prim算法（贪婪思想）：从空集出发（顶点集和边集都为空），每次添加一条边，满足：（1）不构成圈；（2）与已存在的某条边相邻；（3）在未添加的边集中权尽可能小。
Kruskal算法（贪婪思想）：从 $\nu$ 阶空图出发（边集为空），每次添加一条边，满足：（1）不构成圈；（2）在未添加的边集中权尽可能小。（Kruskal算法过程中的图可以不连通）

定理1 设 $G$ 是连通加权图，由Prim算法构造的支撑树一定是图 $G$ 的最小支撑树。

定理2 设 $G$ 是连通加权图，由Kruskal算法构造的支撑树一定是图 $G$ 的最小支撑树。

3.5 二叉树与前缀码

根：唯一一个入度为0的顶点。
叶子：出度为0的顶点。
根树：$T$ 是一棵有向树，且只有一个顶点入度为0，其余顶点入度都为1。
$n$元树：树上所有顶点的出度的最大值，即 $\forall v\in V(T),d^{+}(v)\le n$ 。
经典$n$元树：除叶子顶点外，每个顶点都有 $n$ 个儿子的根树。
有序树：每个顶点的儿子们有序的根树。
括号列：由左括号“（”和右括号“）”组成的有限序列
好括号列：满足：（1）空列是好的；（2）若A与B是好括号列，则AB也是；（3）若A是好括号列，则（A）也是；（4）除了上述三种情况下的括号列，再无其它好括号列。

引理1 一个括号列是好括号列的充要条件是它由偶数个括号组成，其中一半是左括号，一半是右括号，且从左向右读这个括号列时，任何时刻读出的右括号个数不超过读出的左括号个数。

引理2 由 $2n$ 个括号组成的好括号列个数是 $c(n+1)=\frac{1}{n+1}{C}_{2n}^n$ ，这个 $c(n+1)$ 叫做Catalan数。

定理3 $n$ 阶有序二元树的个数是Catalan数 $c(n+1)$ 。

前缀码：设有一个序列的集合，如果在这个集合中，任何序列都不是另一个序列的前缀，则称这个集合位前缀码。
Huffman树 / 最优二元树：以 $v_0$ 为根，以 $v_1,v_2,...,v_n$ 为叶子的有序二元树中，称 $(v_0,v_i)$ 链的长 $l_i$ 为叶子 $v_i$ 的码长。若 $v_i$ 代表的事物出现的频率为 $p_i$ ，且 ${\sum }_{i=1}^n{p}_i=1$ ，则称使 $m(T)=\sum _{i=1}^n{p}_i{l}_i$ 达到最小的有序二元树 $T$ 为带权 $p_1,p_2,...,p_n$ 的Huffman树。

Huffman树的构造算法：

第四章 最大流及其算法

4.1 容量网络模型

容量网络：容量网络是一个加权有向网络，并且满足：（1）存在唯一一个入度为0的顶点，称为源。（2）存在唯一一个出度为0的顶点，称为汇。（3）每条弧 $(v_i,v_j)$ 上赋权 $c_{ij}$ 是一个非负数，称为弧 $(v_i,v_j)$ 的容量。
流：设 $D$ 是一个容量网络，$c_{ij}$ 表示弧 $(v_i,v_j)$ 的容量， $f$ 是定义在 $D$ 的弧集上的一个函数，使每条弧 $(v_i,v_j)$ 对应一个非负实数 $f_{ij}$ ，满足：（1）相容条件：每条弧上的流量小于其容量（2）守恒条件：每个顶点的流入量等于流出量，则称 $f$ 为容量网络 $D$ 的一个流，称 $f_{ij}$ 为弧 $(v_i,v_j)$ 上的流量。
流入量：${\sum }_{(v_i,v_j)\in E(D)}{f}_{ij}$ 称为流入顶点 $v_j$ 的流入量。
流出量：${\sum }_{(v_j,v_i)\in E(D)}{f}_{ij}$ 称为流入顶点 $v_j$ 的流出量。
饱和弧、非饱和弧：流量等于容量的弧称为饱和弧，流量小于容量的弧称为非饱和弧。

定理1 在图 $D$ 的任意一个流 $f$ 中，源的流出量等于汇的流入量。

推论： 弧上的流量之和 = 所有顶点的流入量之和 = 所有顶点的流出量之和。

流值：源的流出量（或汇的流入量）为流 $f$ 的流值，记作 $val(f)$ 。
最大流：容量网络中流值最大的流称为最大流。
$(S,\acute{S})$ 表示从 $S$ 指向 $\acute{S}$ 的弧的集合。
截：设 $D$ 是一个容量网络， $S$ 为$D$ 中的一个包含源的顶点子集，其与顶点集的补集为 $\bar{S}$ ，且汇在 $\bar{S}$ 中，则记 $(S,\bar{S})$ 为 $D$ 的一个截。（等价于一个有方向的边割）
截的容量：截 $(S,\bar{S})$ 中所有弧的容量之和，记作 $c(S,\bar{S})$ 。
截的流量：截 $(S,\bar{S})$ 中所有弧的流量之和，记作 $c_f(S,\bar{S})$ 。
最小截：容量达到最小的截。

定理2 任意流值不大于任何一个截的流量 $val(f)\le c(S,\bar{S})$ 。
可推出公式： $c_f(S,\bar{S})=c_f(\bar{S},S)+val(f)\le c(S,\bar{S})$ ，即截面 $f$ 的流量 $=$ 截面的反向流量 $+$ 源的流出量 $\le$ 截面的容量。

规律 流值与截流量相等，当且仅当（1）截 $(S,\bar{S})$ 上的流量与容量相等。（每条弧都饱和）（2）截 $(\bar{S},S)$ 上的流量为0。（每条弧都为0）

4.2 最大流算法

正向弧、反向弧：设 $P$ 是容量网络中一条从源 $v_s$ 到 $v_t$ 的路，则 $P$ 中与规定方向一致的弧称为正向弧，否则称为反向弧。
$f$ 饱和路、$f$ 非饱和路：设 $P$ 是一条 $(v_s,v_j)$ 路，如果同时满足：① 对 $P$ 中每条正向弧 $(v_i,v_j)$ ，$f_{ij}<c_{ij}$ ；② 对 $P$ 中每条反向弧 $(v_i,v_j)$ ，$f_{ij}>0$ ，则称 $(v_s,v_j)$ 为 $f$ 非饱和路，否则称为$f$ 饱和路。
$f$ 可增路：从源到汇的 $f$ 非饱和路 $(v_s,v_t)$ 称为 $f$ 可增路。

定理1 设容量网络 $D$ 的源为 $v_s$ 汇为 $v_t$ ， $f$ 为 $D$ 的一个流，则 $f$ 为最大流当且仅当 $D$ 中不存在 $f$ 可增路。

最大流构造算法（标号法）
Step1：从任意一个流开始，查找 $f$ 可增路。
Step2：如果不存在 $f$ 可增路，则得到最大流，算法结束；如果查找到一条 $f$ 可增路，跳转到下一步。
Step3：令 Δ=min{min{cij−fij∣(vi,vj)为正向弧},min{fij∣(vi,vj)为反向弧}}\Delta=min\{min\{c_{ij}-f_{ij}|(v_i,v_j)为正向弧\},min\{f_{ij}|(v_i,v_j)为反向弧\}\}Δ=min{min{cij​−fij​∣(vi​,vj​)为正向弧},min{fij​∣(vi​,vj​)为反向弧}} ，修改 $f$ 可增路中所有正向弧的流量增加 $\Delta$ ，同时所有反向弧的流量减少 $\Delta$ ，跳转到上一步。

标号法的特点：
（1）构造算法结束时获得最小截 $(S,\bar{S})$ ，其中 $S$ 为最后一步获得标号的顶点集。
（2）对于整数容量网络，必然在有限步内构造出最大流；对于无理数容量网络，则不能再有限步内停止。

定理2 最大流最小截定理
在任何容量网络 $D$ 中，最大流的流值等于最小截的容量。

4.3 最小费用最大流

费用：设容量网络 $D$ ， $f$ 是其上的一个流， $f_{ij},c_{ij},b_{ij}$ 分别为弧 $(v_i,v_j)$ 上的流量、容量和单位费用，则流 $f$ 的费用为 $$b(f)=\sum _{(v_i{v}_j)\in E(D)}{f}_{ij}{b}_{ij}$$
最小费用最大流：在容量网络 $D$ 的所有最大流中，寻找费用最小的流，这样的流称为最小费用最大流。

最小费用最大流构造算法：
Step1：从容量网络 $D$ 的任何一个最大流出发，
Step2：寻找某个圈，修改该圈上各弧的流量使流值保持不变且费用降低，
Step3：直到网络中不存在这样的圈为止。

增广圈：设容量网络 $D$ ， $f$ 是其上的一个流， $Q$ 是一个具有指定正向的圈， $Q^{+}$ 记为圈 $Q$ 上正向弧的集合， $Q^{-}$ 记为圈 $Q$ 上反向弧的集合。若 $Q^{+}$ 中所有弧都满足 $c_{ij}>f_{ij}$ ，并且$Q^{-}$ 中所有弧都满足 $f_{ij}>0$ ，则称 δ=min{min{cij−fij∣(vi,vj)为正向弧},min{fij∣(vi,vj)为反向弧}}\delta = min\{min\{c_{ij}-f_{ij}|(v_i,v_j)为正向弧\},min\{f_{ij}|(v_i,v_j)为反向弧\}\}δ=min{min{cij​−fij​∣(vi​,vj​)为正向弧},min{fij​∣(vi​,vj​)为反向弧}} 为允许修正量，圈 $Q$ 为容量网络 $D$ 上关于 $f$ 的增广圈。
修正流：对每个正向弧的 $f_{ij}$ 加上 $\delta$ ，每个反向弧的 $f_{ij}$ 减去 $\delta$ ，圈外的弧流量不变，得到的新流 $f^{\prime }$ 为修正流。
增广圈的费用：$f$ 增广圈的费用 $b(Q,f)=\sum _{(v_i,v_j)\in Q^{+}}{b}_{ij}-\sum _{(v_i,v_j)\in Q^{-}}{b}_{ij}$ 。
负圈：费用小于0的增广圈称为负圈。

定理3 $f$ 是最小费用最大流当且仅当任何 $f$ 增广圈 $Q$ 的费用 $b(Q,f)\ge 0$ ，即无负圈。

Klein算法：
Step1：求容量网络 $D$ 的一个最大流；
Step2：寻找网络中的负圈，若没有负圈，算法结束；若找到一个负圈 $Q$ ，跳到 Step3。
Step3：修改负圈 $Q$ 上各弧的流量得到修正流，转 Step2，继续寻找负圈。

第五章 遍历性及其算法

5.1 Euler图

Euler图/欧拉图：若图 $G$ 中存在一条包含所有边的闭迹 $W$ ，则称 $G$ 为Euler图， $W$ 称为 $G$ 的Euler闭迹。
半Euler图：若图 $G$ 中存在一条包含所有边的迹 $P$ ，则称 $G$ 为半Euler图， $P$ 称为 $G$ 的Euler迹。

定理1 设 $G$ 是非空连通图，则下面三个命题等价：
（1） $G$ 是Euler图；
（2） $G$ 中不含奇点；
（3） $G$ 可以表示为若干个没有公共边的圈的并。

有向Euler图：若图 $D$ 中存在一条包含所有弧的有向闭迹 $W$ ，则称 $G$ 为有向Euler图， $W$ 称为 $G$ 的有向Euler闭迹。
有向半Euler图：若图 $D$ 中存在一条包含所有弧的有向迹 $P$ ，则称 $G$ 为有向半Euler图， $P$ 称为 $G$ 的有向Euler迹。

定理2 设 $D$ 是非空连通有向图，则下面三个命题等价：
（1） $D$ 是有向Euler图；
（2） $D$ 中所有顶点的入度等于出度；
（3） $D$ 可以表示为若干个弧不交的回路的并。

推论1 连通有向图 $D$ 是有向半Euler图而不是有向Euler图，当且仅当（1）起点的出度＝入度＋1，终点的入度＝出度＋1；（2）其他中间点的入度等于出度。

Fleury算法：从任意顶点出发，除非别无选择，总是选择一条不是割边（在圈上）且没走过的边，直到获得Euler闭迹为止。

定理3 设 $G$ 是Euler图， $W＝v_0{e}_1{v}_1...e_n{v}_n$ 是Fleury算法结束时得到的迹，则 $W$ 一定是图 $G$ 的Euler闭迹。

Euler图的应用：

编码盘设计问题：对于一个四位二进制编码盘，如何设计盘上16个位置的0/1，使得盘转一周后刚好遍历 $2^4$ 种编码？
解决方案：
Step1：定义一个含有8个编号分别为 $(000,001,010,...,111)$ 的顶点的图，对于顶点 $x_1{x}_2{x}_3$ ，添加弧使其与 $x_2{x}_{3}0$ 和 $x_2{x}_{3}1$ 以出弧的形式相邻（每个顶点的入度＝出度＝2），构造出一个有向Euler图 $D$ 。
Step2：取图 $D$ 的一条有向Euler闭迹 $P$ ，如 $000\to 000\to 001\to ...\to 100\to 000$ 。
Step3：取 $P$ 中每个顶点的最后一位 $\mathrm{001...00}$ 作为序列，即为所求结果。
推广：若编码盘上有 $n$ 个顶点，则构造出的有向图为德布鲁英图$B(2,n)$ ，得到的序列为德布鲁英序列。

5.2 中国邮递员问题（管梅谷教授提出）

1. 问题描述：从邮局出发，每个街道经过至少一次，最终回到邮局，如何走使得总路程最少？
2. 图论问题转换：在加权连通图 $G$ 中，寻找一条经过每条边至少一次且权和最小的闭迹，即寻找 $G$ 的最优环游。
3. 算法：奇偶点图上作业法
Step1：若图是欧拉图，则欧拉闭迹是最优解；
Step2：若图不是欧拉图，在图中的每对奇点之间分别找一条链，链上的每条边添加一条重边；
Step3：若两顶点间有 $k(k\ge 3)$ 重边，则删除其中的偶数条边。
Step4：检查图中的每一个圈，若圈上所有重边的权和大于所有单边的权和，则将所有重边去掉一条边变为单边，将单边添加一条边变为重边。
Step5：重复执行Step4，直到图中所有圈上的重边权和不超过圈权和的一半。
Step6：用Fleury算法求图的Euler闭迹，即为最优环游。
算法规模：因为需要遍历所有的圈，所以不可能在二项式时间内得解。

定理4 设 $G$ 是加权连通图，则奇偶点图上作业法得到的闭途径是最优环游。

5.3 Hamilton图

Hamilton图：若图 $G$ 中存在包含一切顶点的圈 $C$ ，则称 $G$ 为Hamilton图， $C$ 称为Hamilton圈。
半Hamilton图：若图 $G$ 中存在包含一切顶点的链 $P$ ，则称 $G$ 为半Hamilton图， $P$ 称为Hamilton链。

定理1 Hamilton图的必要条件
（1）若 $G$ 是Hamilton图，则 $\omega (G-S)\le |S|,(\forall S\subset V,S\ne \varnothing )$ 。（即从 $G$ 中删除顶点子集 $S$ 后，连通分支个数一定少于 $S$ 中顶点个数）
（2）若 $G$ 是半Hamilton图，则 $\omega (G-S)\le |S|+1,(\forall S\subset V,S\ne \varnothing )$ 。

推论1 对于二部图 $G=(X,Y,E)$ ，若 $G$ 是Hamilton图，则 $|X|=|Y|$ ；若 $G$ 是半Hamilton图，则 $||X|-|Y||\le 1$ 。

闭包：设 $G$ 是简单图，反复连接 $G$ 中度之和不小于 $\nu$ 的不相邻顶点对，直到没有这种顶点对为止，这样得到的图称为 $G$ 的闭包，记作 $c(G)$ 。

引理1 设 $G$ 是简单图， $u$ 和 $v$ 在 $G$ 中不相邻， $u\ne v$ ，且 $d(u)+d(v)\ge v$ ，则“ $G$ 是Hamilton图”的充要条件是“ $G+uv$ 是Hamilton图”。

定理2 一个简单图 $G$ 是Hamilton图，当且仅当 $c(G)$ 是Hamilton图。

推论2 设 $G$ 是简单图，且 $v\ge 3$ ，若 $c(G)$ 是完全图，则 $G$ 是Hamilton图。

推论3 设 $G$ 是简单图， $v\ge 3$ 且对于 $G$ 中任意一对不相邻相异顶点 $u$ 和 $v$ ，有 $d(u)+d(v)\ge v$ ，则 $G$ 是Hamilton图。

推论4 设 $G$ 是简单图，且 $v\ge 3$ ， $\delta \ge \frac{v-1}{2}$ ，则 $G$ 是Hamilton图。

推论5 设 $G$ 是简单图，且对 $G$ 中任何一对不相邻的相异顶点 $u$ 和 $v$ ，有 $d(u)+d(v)\ge \frac{v-1}{2}$ ，则 $G$ 是半Hamilton图。

推论6 设 $G$ 是简单图，并且 $\delta \ge \frac{v-1}{2}$ ，则 $G$ 是半Hamilton图。

定理3（范更华，1984）
设 $G$ 连通简单图， $\forall v\in V(G)$ ， $G-v$ 仍连通，对 $G$ 中满足 $d(u,v)=2$ 的任意顶点对 $u$ 和 $v$ 都有 max{d(u),d(v)}≥v2max\{d(u),d(v)\}\ge\frac{v}{2}max{d(u),d(v)}≥2v​ ，则 $G$ 是Hamilton图。

注：
（1）以上定理为Hamilton图的充分条件，推论为一些必要条件，尚不存在充分必要条件。
（2）重边和环在研究Hamilton图中没有意义。

格雷码：

• 格雷码即为立方体的Hamilton圈（n立方体是Hamilton图）

5.4 有向Hamilton图

定理1 强连通的充要条件
设 $G$ 是连通图，则 $G$ 有强连通定向图，当且仅当 $G$ 中没有割边。

定理2 强连通的等价刻划
设 $D=(V,A)$ 是 $\nu \ge 2$ 的有向图，则下列命题等价：
（1） $D$ 是强连通的；
（2） $D$ 是连通的，且 $D$ 的每条弧都在一个回路上；
（3） $\forall S\subset V$ ， $S\ne \varnothing$ 有 $(S,\bar{S})\ne \varnothing$ ， $(\bar{S},S)\ne \varnothing$

推论1 设 $D$ 是简单有向图，且 $d_D^{+}(u)+d_D^{-}(v)\ge \nu -1$ ， $\forall (u,v)\notin A(D)$ ， $u\ne v$ ，则 $D$ 是强连通的。

有向Hamilton图：若有向图 $D$ 中存在包含所有顶点的回路，则称 $D$ 为有向Hamilton图，这种回路称为 $D$ 的Hamilton回路。
有向半Hamilton图：若有向图 $D$ 中存在包含所有顶点的路，则称 $D$ 为有向半Hamilton图，这样的路称为 $D$ 的Hamilton路。
竞赛图：任何两个顶点间都恰有一条弧相连的无环有向图，称为竞赛图，即竞赛图就是完全图的定向图。

定理3 任何 $\nu$ 阶竞赛图 $D$ 都是有向半Hamilton图。

定理4 对任何满足 $3\le k\le \nu$ 的整数 $k$ ， $\nu \ge 3$ 的强连通竞赛图 $D$ 的每个顶点都在 $D$ 中某个 $k$ 回路上。

推论2 $v\ge 3$ 的竞赛图 $D$ 是有向Hamilton图，当且仅当 $D$ 是连通的。

定理5 有向Hamilton的充分条件
设 $D$ 是 $\nu \ge 2$ 的强连通简单有向图，若对任一对不相邻的相异顶点 $u$ 和 $v$ ，有 $d(u)+d(v)\ge 2\nu -1$ ，则 $D$ 是有向Hamilton图。

5.5 连通度和边连通度

刻画图的连通程度：
顶点割：若在图 $G$ 中去掉顶点子集 $\acute{V}$ 使得 $G-\acute{V}$ 不连通，则称 $\acute{V}$ 为 $G$ 的顶点割，若 $|\acute{V}|=k$ ，则称 $\acute{V}$ 为 $G$ 的 $k$顶点割。
连通度： $G$ 的最小顶点割中的顶点数为 $G$ 的连通度，记作 $\kappa (G)$ 。规定完全图的连通度 $\kappa (G)=\nu -1$ 。
$k$连通图：若图 $G$ 的连通度 $\kappa (G)\ge k$ ，则称 $G$ 为 $k$连通图。（要使图 $G$ 不连通，至少需要去掉 $k$ 个顶点）
边连通度：$G$ 的最小边割中的边数为 $G$ 的边连通度，记作 $\acute{\kappa }(G)$ 。规定非平凡图或非连通图的边连通度 $\acute{\kappa }(G)=0$ 。
$k$边连通图：若图 $G$ 的边连通度 $\acute{\kappa }(G)\ge k$ ，则称 $G$ 为 $k$边连通图。（要使图 $G$ 不连通，至少需要去掉 $k$ 条边）

定理1 对于任何图 $G$ 都有 $\kappa (G)\le \acute{\kappa }(G)\le \delta (G)$ 。（ 其中 δ(G)=min{d(v)∣d(v)∈V}\delta(G)=min\{d(v)|d(v)\in V\}δ(G)=min{d(v)∣d(v)∈V}，为顶点的最小度）

定理2 对于任何满足 $0<l\le m\le n$ 的正整数 $l,m,n$ 总存在一个简单图 $G$ ，使得 $\kappa (G)=l,\acute{\kappa }(G)=m,\delta (G)=n$ 。

定理3 一个 $\nu \ge 3$ 的图 $G$ 是2连通图，当且仅当 $G$ 的任何两个顶点由至少两条内部不相交的链链接。

推论1 若 $G$ 是2连通图，则 $G$ 的任何两个顶点在一圈上。

推论2 若 $G$ 是 $\nu \ge 3$ 的块（2连通图），则 $G$ 的任何两条边在一个圈上。

引理1 设 $G$ 是 $k$连通图， $k\ge 2$ ，则对于 $G$ 的任何连杆 $e$ ， $G\cdot e$ 是 $k-1$ 连通图。

引理2 设 $\kappa (G)=k\ge 1$ ，且 Vˊ={v1,v2,...,vk}\acute{V}=\{v_1,v_2,...,v_k\}Vˊ={v1​,v2​,...,vk​} 是 $G$ 的 $k$ 顶点割， $G_1,G_2,...,G_p$ 是 $G-\acute{V}$ 的全部连通分支，则对于 $\forall 1\le i\le k$ 和 $\forall 1\le j\le p$ ，顶点 $v_i$ 必与连通分支 $G_j$ 的某个顶点在 $G$ 中相邻。

定理4 设 $G$ 是3连通图， $\nu \ge 5$ ，则存在 $G$ 的连杆 $e$ ，使 $G\cdot e$ 仍然是3连通图。

5.6 坚韧度

坚韧度：设 $G$ 是 $\nu$ 阶图，且至少有一对相异顶点不相邻，则 $G$ 的坚韧度 t(G)=min{∣S∣ω(G−S)∣S⊂V(G),S≠∅,ω(G−S)≥2}t(G)=min\{\frac{|S|}{\omega(G-S)}|S\subset V(G),S\neq\varnothing,\omega(G-S)\ge2\}t(G)=min{ω(G−S)∣S∣​∣S⊂V(G),S=∅,ω(G−S)≥2} 。对于完全图，规定 $t(G)=\frac{\nu (G)-1}{2}$ 。
$t$坚韧图：若图 $G$ 的坚韧度 $t(G)\ge t$ ，则称 $G$ 是 $t$坚韧图。
坚韧集：若存在 $S^{\ast }\subset V(G)$ ， $\omega (G-S^{\ast })\ge 2$ 满足 $t(G)=\frac{|S^{\ast }|}{\omega (G-S^{\ast })}$ ，则称 $S^{\ast }$ 为 $G$ 的坚韧度顶点集，简称坚韧集。

定理1 设 $\nu (\nu \ge 3)$ 阶连通图 $G$ ，则 $\frac{1}{\nu (G)-1}\le t(G)\le \frac{\nu (G)-1}{2}$ 。

定理2 设 $T$ 是树， $\Delta$ 表示 $T$ 的最大度，则有 $t(T)=\frac{1}{\Delta }$ 。

推论1 设 $P$ 是 $\nu (\nu \ge 3)$ 的链，则 $t(P)=\frac{1}{2}$ 。

边坚韧度：设 $G$ 是一个非平凡连通图，则图 $G$ 的边坚韧度 tˊ(G)=min{∣Eˊ∣ω(G−Eˊ)−1∣Eˊ⊆E(G),ω(G−Eˊ)≥2}\acute{t}(G)=min\{\frac{|\acute{E}|}{\omega(G-\acute{E})-1}|\acute{E}\subseteq E(G),\omega(G-\acute{E})\ge2\}tˊ(G)=min{ω(G−Eˊ)−1∣Eˊ∣​∣Eˊ⊆E(G),ω(G−Eˊ)≥2} 。对于平凡图或非连通图，规定 $\acute{t}(G)=0$ 。

定理3 对于任何非平凡连通图 $G$ ，有 $\frac{\acute{\kappa }(G)}{2}<\acute{t}(G)\le \acute{\kappa }(G)$ 。