1.为什么我们要使用树：

1.1 数组存储方式分析：

  • 优点：查询快。通过下标方式访问元素，速度快。对于有序数组，还可以使用二分法提高检索速度
  • 缺点：增删慢。如果要插入或者删除值会涉及到数组的复制，以及扩容，效率较低。所以如果经常对数组进行修改，我们不介意使用数组作为数据结构

在这里插入图片描述

1.2 链表存储方式分析：

  • 优点：增删快。当插入或者删除元素时，只需要找到对应元素的位置，修改前置节点和后置节点的链接即可，无需复制移动
  • 缺点：查询慢。在查找的时候，我们总要从链表的开始，往后遍历，直到找到我们需要的数据

在这里插入图片描述

1.3 树存储方式分析：

树结合了2中数据结构的特点：有序数组和链表。在树中查找数据项的速度和有序数组一样快，并且插入和删除数据也和链表中一样快。
在这里插入图片描述

2. 树

树（tree）是一种抽象数据类型（ADT），用来模拟具有树状结构性质的数据集合。它是由n（n>0）个有限节点通过连接它们的边组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。　
图一：
在这里插入图片描述

  1. 节点：上图的圆圈，比如A,B,C等都是表示节点。节点一般代表一些实体，在java面向对象编程中，节点一般代表对象。
  2. 边：连接节点的线称为边，边表示节点的关联关系。一般从一个节点到另一个节点的唯一方法就是沿着一条顺着有边的道路前进。在Java当中通常表示引用。

树有很多种，向上面的一个节点有多余两个的子节点的树，称为多路树，后面会讲解2-3-4树和外部存储都是多路树的例子。而每个节点最多只能有两个子节点的一种形式称为二叉树，这也是本篇博客讲解的重点。

2.1 树的常用术语

图二：
在这里插入图片描述

  1. 路径：顺着节点的边从一个节点走到另一个节点，所经过的节点的顺序排列就称为“路径”。
  2. 根：树顶端的节点称为根。一棵树只有一个根，如果要把一个节点和边的集合称为树，那么从根到其他任何一个节点都必须有且只有一条路径。A是根节点。
  3. 父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；B是D的父节点。
  4. 子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；D是B的子节点。
  5. 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；比如上图的D和E就互称为兄弟节点。
  6. 叶节点：没有子节点的节点称为叶节点，也叫叶子节点，比如上图的H、E、F、G都是叶子节点。
  7. 子树：每个节点都可以作为子树的根，它和它所有的子节点、子节点的子节点等都包含在子树中。
  8. 节点的层次：从根开始定义，根为第一层，根的子节点为第二层，以此类推。
  9. 深度：对于任意节点n,n的深度为从根到n的唯一路径长，根的深度为0；
  10. 高度：对于任意节点n,n的高度为从n到一片树叶的最长路径长，所有树叶的高度为0；

3. 二叉树

3.1 二叉树定义：

树的每个节点最多只能有2个子节点
在这里插入图片描述

3.2 满二叉树：

如果该二叉树的所有叶子节点都在最后一层，并且节点总数 = 2^n - 1,n为层数，则成为满二叉树
在这里插入图片描述

3.3 完全二叉树

如果该二叉树的所有叶子节点都在最后一层或者倒数第二层，而且最后一层的叶子节点在左边连续，倒数第二层的叶子结点在右边连续，则成为完全二叉树
在这里插入图片描述

注意：以下的遍历、查找、删除都是基于二叉树是无序的情况，（有序的情况请看二叉搜索树）

4. 二叉树的遍历

使用前序、中序、后序对二叉树进行遍历：

  1. 前序遍历：先输出父节点，再遍历左子树和右子树
  2. 中序遍历：先遍历左子树，再输出父节点，再遍历右子树
  3. 后序遍历：先遍历左子树，再遍历右子树，最后输出父节点。
  4. 小结：看输出父节点的顺序，就确定是前序中序还是后序

4.1 遍历的思路分析：

在这里插入图片描述

4.2 代码实例：

public class BinaryTreeDemo {

    public static void main(String[] args) {
        //先需要创建一颗二叉树
        BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
        //创建需要的结点
        HeroNode root = new HeroNode(1, "宋江");
        HeroNode node2 = new HeroNode(2, "吴用");
        HeroNode node3 = new HeroNode(3, "卢俊义");
        HeroNode node4 = new HeroNode(4, "林冲");
        HeroNode node5 = new HeroNode(5, "关胜");

        //说明，我们先手动创建该二叉树，后面我们学习递归的方式创建二叉树
        root.setLeft(node2);
        root.setRight(node3);
        node3.setRight(node4);
        node3.setLeft(node5);
        binaryTree.setRoot(root);

        //测试
		System.out.println("前序遍历"); // 1,2,3,5,4
		binaryTree.preOrder();

        //测试
		System.out.println("中序遍历");
		binaryTree.infixOrder(); // 2,1,5,3,4

		System.out.println("后序遍历");
		binaryTree.postOrder(); // 2,5,4,3,1
    }

}

//定义BinaryTree 二叉树
class BinaryTree {
    private HeroNode root;

    public void setRoot(HeroNode root) {
        this.root = root;
    }

 
    //前序遍历
    public void preOrder() {
        if(this.root != null) {
            this.root.preOrder();
        }else {
            System.out.println("二叉树为空，无法遍历");
        }
    }

    //中序遍历
    public void infixOrder() {
        if(this.root != null) {
            this.root.infixOrder();
        }else {
            System.out.println("二叉树为空，无法遍历");
        }
    }
    //后序遍历
    public void postOrder() {
        if(this.root != null) {
            this.root.postOrder();
        }else {
            System.out.println("二叉树为空，无法遍历");
        }
    }
}

//先创建HeroNode 结点
@Data
class HeroNode {
    private int no;
    private String name;
    private HeroNode left; //默认null
    private HeroNode right; //默认null
    public HeroNode(int no, String name) {
        this.no = no;
        this.name = name;
    }

    @Override
    public String toString() {
        return "HeroNode [no=" + no + ", name=" + name + "]";
    }

    //编写前序遍历的方法
    public void preOrder() {
        System.out.println(this); //先输出父结点
        //递归向左子树前序遍历
        if(this.left != null) {
            this.left.preOrder();
        }
        //递归向右子树前序遍历
        if(this.right != null) {
            this.right.preOrder();
        }
    }
    //中序遍历
    public void infixOrder() {

        //递归向左子树中序遍历
        if(this.left != null) {
            this.left.infixOrder();
        }
        //输出父结点
        System.out.println(this);
        //递归向右子树中序遍历
        if(this.right != null) {
            this.right.infixOrder();
        }
    }
    //后序遍历
    public void postOrder() {
        if(this.left != null) {
            this.left.postOrder();
        }
        if(this.right != null) {
            this.right.postOrder();
        }
        System.out.println(this);
    }
}

5. 二叉树的查找：

要求：

  1. 编写前序、中序、后序的查找方法
  2. 使用三种查找方式，查找heroNO=5的节点
  3. 分析各种查找方法，分别查找了几次

5.1 思路分析：

在这里插入图片描述

5.2 代码实现：

public class BinaryTreeDemo {

    public static void main(String[] args) {
        //先需要创建一颗二叉树
        BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
        //创建需要的结点
        HeroNode root = new HeroNode(1, "宋江");
        HeroNode node2 = new HeroNode(2, "吴用");
        HeroNode node3 = new HeroNode(3, "卢俊义");
        HeroNode node4 = new HeroNode(4, "林冲");
        HeroNode node5 = new HeroNode(5, "关胜");

        //说明，我们先手动创建该二叉树，后面我们学习递归的方式创建二叉树
        root.setLeft(node2);
        root.setRight(node3);
        node3.setRight(node4);
        node3.setLeft(node5);
        binaryTree.setRoot(root);

        //前序遍历
        //前序遍历的次数 ：4
		System.out.println("前序遍历方式~~~");
		HeroNode resNode = binaryTree.preOrderSearch(5);
		if (resNode != null) {
			System.out.printf("找到了，信息为 no=%d name=%s", resNode.getNo(), resNode.getName());
		} else {
			System.out.printf("没有找到 no = %d 的英雄", 5);
		}

        //中序遍历查找
        //中序遍历3次
		System.out.println("中序遍历方式~~~");
		HeroNode resNode = binaryTree.infixOrderSearch(5);
		if (resNode != null) {
			System.out.printf("找到了，信息为 no=%d name=%s", resNode.getNo(), resNode.getName());
		} else {
			System.out.printf("没有找到 no = %d 的英雄", 5);
		}

        //后序遍历查找
        //后序遍历查找的次数  2次
		System.out.println("后序遍历方式~~~");
		HeroNode resNode = binaryTree.postOrderSearch(5);
		if (resNode != null) {
			System.out.printf("找到了，信息为 no=%d name=%s", resNode.getNo(), resNode.getName());
		} else {
			System.out.printf("没有找到 no = %d 的英雄", 5);
		}

    }

}

//定义BinaryTree 二叉树
class BinaryTree {
    private HeroNode root;

    public void setRoot(HeroNode root) {
        this.root = root;
    }

    //前序遍历
    public HeroNode preOrderSearch(int no) {
        if(root != null) {
            return root.preOrderSearch(no);
        } else {
            return null;
        }
    }
    //中序遍历
    public HeroNode infixOrderSearch(int no) {
        if(root != null) {
            return root.infixOrderSearch(no);
        }else {
            return null;
        }
    }
    //后序遍历
    public HeroNode postOrderSearch(int no) {
        if(root != null) {
            return this.root.postOrderSearch(no);
        }else {
            return null;
        }
    }
}

//先创建HeroNode 结点
@Data
class HeroNode {
    private int no;
    private String name;
    private HeroNode left; //默认null
    private HeroNode right; //默认null
    public HeroNode(int no, String name) {
        this.no = no;
        this.name = name;
    }

    @Override
    public String toString() {
        return "HeroNode [no=" + no + ", name=" + name + "]";
    }

    //前序遍历查找
    /**
     *
     * @param no 查找no
     * @return 如果找到就返回该Node ,如果没有找到返回 null
     */
    public HeroNode preOrderSearch(int no) {
        System.out.println("进入前序遍历");
        //比较当前结点是不是
        if(this.no == no) {
            return this;
        }
        //1.则判断当前结点的左子节点是否为空，如果不为空，则递归前序查找
        //2.如果左递归前序查找，找到结点，则返回
        HeroNode resNode = null;
        if(this.left != null) {
            resNode = this.left.preOrderSearch(no);
        }
        if(resNode != null) {//说明我们左子树找到
            return resNode;
        }
        //1.左递归前序查找，找到结点，则返回，否继续判断，
        //2.当前的结点的右子节点是否为空，如果不空，则继续向右递归前序查找
        if(this.right != null) {
            resNode = this.right.preOrderSearch(no);
        }
        return resNode;
    }

    //中序遍历查找
    public HeroNode infixOrderSearch(int no) {
        //判断当前结点的左子节点是否为空，如果不为空，则递归中序查找
        HeroNode resNode = null;
        if(this.left != null) {
            resNode = this.left.infixOrderSearch(no);
        }
        if(resNode != null) {
            return resNode;
        }
        System.out.println("进入中序查找");
        //如果找到，则返回，如果没有找到，就和当前结点比较，如果是则返回当前结点
        if(this.no == no) {
            return this;
        }
        //否则继续进行右递归的中序查找
        if(this.right != null) {
            resNode = this.right.infixOrderSearch(no);
        }
        return resNode;

    }

    //后序遍历查找
    public HeroNode postOrderSearch(int no) {

        //判断当前结点的左子节点是否为空，如果不为空，则递归后序查找
        HeroNode resNode = null;
        if(this.left != null) {
            resNode = this.left.postOrderSearch(no);
        }
        if(resNode != null) {//说明在左子树找到
            return resNode;
        }

        //如果左子树没有找到，则向右子树递归进行后序遍历查找
        if(this.right != null) {
            resNode = this.right.postOrderSearch(no);
        }
        if(resNode != null) {
            return resNode;
        }
        System.out.println("进入后序查找");
        //如果左右子树都没有找到，就比较当前结点是不是
        if(this.no == no) {
            return this;
        }
        return resNode;
    }
}

6. 二叉树节点删除

要求：

  1. 如果删除的是叶子节点，则删除该节点
  2. 如果删除的是非叶子节点，则将该节点及该节点子节点删除（删除该子树）
  3. 测试，删除5号和3号节点：

6.1 思路分析：

在这里插入图片描述

6.2 代码实现：

public class BinaryTreeDemo {

    public static void main(String[] args) {
        //先需要创建一颗二叉树
        BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
        //创建需要的结点
        HeroNode root = new HeroNode(1, "宋江");
        HeroNode node2 = new HeroNode(2, "吴用");
        HeroNode node3 = new HeroNode(3, "卢俊义");
        HeroNode node4 = new HeroNode(4, "林冲");
        HeroNode node5 = new HeroNode(5, "关胜");

        //说明，我们先手动创建该二叉树，后面我们学习递归的方式创建二叉树
        root.setLeft(node2);
        root.setRight(node3);
        node3.setRight(node4);
        node3.setLeft(node5);
        binaryTree.setRoot(root);

        //测试一把删除结点
        System.out.println("删除前,前序遍历");
        binaryTree.preOrder(); //  1,2,3,5,4
        binaryTree.delNode(5);
        //binaryTree.delNode(3);
        System.out.println("删除后，前序遍历");
        binaryTree.preOrder(); // 1,2,3,4
    }

}

//定义BinaryTree 二叉树
class BinaryTree {
    private HeroNode root;

    public void setRoot(HeroNode root) {
        this.root = root;
    }

    //删除结点
    public void delNode(int no) {
        if(root != null) {
            //如果只有一个root结点, 这里立即判断root是不是就是要删除结点
            if(root.getNo() == no) {
                root = null;
            } else {
                //递归删除
                root.delNode(no);
            }
        }else{
            System.out.println("空树，不能删除~");
        }
    }
}

//先创建HeroNode 结点
@Data
class HeroNode {
    private int no;
    private String name;
    private HeroNode left; //默认null
    private HeroNode right; //默认null
    public HeroNode(int no, String name) {
        this.no = no;
        this.name = name;
    }

    @Override
    public String toString() {
        return "HeroNode [no=" + no + ", name=" + name + "]";
    }

    //递归删除结点
    //1.如果删除的节点是叶子节点，则删除该节点
    //2.如果删除的节点是非叶子节点，则删除该子树
    public void delNode(int no) {

        //思路
		/*
		 * 	1. 因为我们的二叉树是单向的，所以我们是判断当前结点的子结点是否需要删除结点，而不能去判断当前这个结点是不是需要删除结点.
			2. 如果当前结点的左子结点不为空，并且左子结点 就是要删除结点，就将this.left = null; 并且就返回(结束递归删除)
			3. 如果当前结点的右子结点不为空，并且右子结点 就是要删除结点，就将this.right= null ;并且就返回(结束递归删除)
			4. 如果第2和第3步没有删除结点，那么我们就需要向左子树进行递归删除
			5.  如果第4步也没有删除结点，则应当向右子树进行递归删除.

		 */
        //2. 如果当前结点的左子结点不为空，并且左子结点 就是要删除结点，就将this.left = null; 并且就返回(结束递归删除)
        if(this.left != null && this.left.no == no) {
            this.left = null;
            return;
        }
        //3.如果当前结点的右子结点不为空，并且右子结点 就是要删除结点，就将this.right= null ;并且就返回(结束递归删除)
        if(this.right != null && this.right.no == no) {
            this.right = null;
            return;
        }
        //4.我们就需要向左子树进行递归删除
        if(this.left != null) {
            this.left.delNode(no);
        }
        //5.则应当向右子树进行递归删除
        if(this.right != null) {
            this.right.delNode(no);
        }
    }
}

7. 顺序查找二叉树

7.1 基本说明：

从数据存储来看，数组存储方式和树的存储方式可以相互转换，即数组可以转换成树，树也可以转换成数组，如下图：
在这里插入图片描述

7.2 顺序存储二叉树的特点：

  1. 顺序存储二叉树通常只考虑完全二叉树
  2. 第n个元素的左子节点为2*n + 1
  3. 第n个元素的右子节点为2*n + 2
  4. 第n个元素的父节点为(n - 1) / 2
  5. n表示二叉树中的第几个元素（从0开始）

7.3 顺序存储二叉树的遍历：

要求：给定一个数组{1,2,3,4,5,6,7}，要求以二叉树前序遍历的方式进行遍历。前序遍历的结果应该为1,2,4,5,3 ,6,7

代码实现：

public class ArrBinaryTreeDemo {

	public static void main(String[] args) {
		int[] arr = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 };
		//创建一个 ArrBinaryTree
		ArrBinaryTree arrBinaryTree = new ArrBinaryTree(arr);
		arrBinaryTree.preOrder(); // 1,2,4,5,3,6,7
	}

}

//编写一个ArrayBinaryTree, 实现顺序存储二叉树遍历

class ArrBinaryTree {
	private int[] arr;//存储数据结点的数组

	public ArrBinaryTree(int[] arr) {
		this.arr = arr;
	}
	
	//重载preOrder
	public void preOrder() {
		this.preOrder(0);
	}
	
	//编写一个方法，完成顺序存储二叉树的前序遍历
	/**
	 * 
	 * @param index 数组的下标 
	 */
	public void preOrder(int index) {
		//如果数组为空，或者 arr.length = 0
		if(arr == null || arr.length == 0) {
			System.out.println("数组为空，不能按照二叉树的前序遍历");
		}
		//输出当前这个元素
		System.out.println(arr[index]); 
		//向左递归遍历
		if((index * 2 + 1) < arr.length) {
			preOrder(2 * index + 1 );
		}
		//向右递归遍历
		if((index * 2 + 2) < arr.length) {
			preOrder(2 * index + 2);
		}
	}	
}
# 数据结构 # 链表 # java
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