前言

继续归纳动态规划
本章是两个经典问题

• 高楼扔鸡蛋
• 编辑距离

1、高楼扔鸡蛋

问题描述

你将获得 K 个鸡蛋，并可以使用一栋从 1 到 N  共有 N 层楼的建筑。
每个蛋的功能都是一样的，如果一个蛋碎了，你就不能再把它掉下去。
你知道存在楼层 F ，满足 0 <= F <= N 任何从高于 F 的楼层落下的鸡蛋都会碎，从 F 楼层或比它低的楼层落下的鸡蛋都不会破。
每次移动，你可以取一个鸡蛋（如果你有完整的鸡蛋）并把它从任一楼层 X 扔下（满足 1 <= X <= N）。
你的目标是确切地知道 F 的值是多少。
无论 F 的初始值如何，你确定 F 的值的最小移动次数是多少？

分析

• 状态：拥有的鸡蛋数k和需要测试的楼层数 N
• dp含义：dp[i][j] 最多用j个蛋最多测i次，最多能测多长
• 状态转移：dp[k][m] = dp[k][m - 1] + dp[k - 1][m - 1] + 1，dp[k][m - 1] 就是楼上的楼层数，因为鸡蛋个数 k 不变，也就是鸡蛋没
  碎，扔鸡蛋次数 m 减⼀；dp[k - 1][m - 1] 就是楼下的楼层数，因为鸡蛋个数 k 减⼀，也就是鸡蛋碎了，同时扔鸡蛋次数 m 减⼀

得到

class Solution:
    def superEggDrop(self, K: int, N: int) -> int:
        # dp[i,j], 最多用j个蛋（列向量）最多测i次，最多能测多长
        # 摔碎的情况，可以检测的最高楼层是f(m - 1, k - 1) + 1。因为碎了嘛，我们多检测了摔碎的这一层。
        # 没有摔碎的情况，可以检测的最高楼层是f(m - 1, k)。因为没有碎，也就是说我们啥都没检测出来（
        dp = [[0] * (K + 1) for _ in range(N + 1)]
        for i in range(1, N + 1):
            for j in range(1, K + 1):
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1 + dp[i - 1][j]
                if dp[i][K] >= N:
                    return i

2、编辑距离

问题描述

给你两个单词 word1 和 word2，请你计算出将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。
你可以对一个单词进行如下三种操作：
- 插入一个字符
- 删除一个字符
- 替换一个字符

分析

• 状态：word1和word2各自的状态
• dp含义：dp[i][j] 代表 word1 到 i 位置转换成 word2 到 j 位置需要最少步数
• 转移方程：当 word1[i] == word2[j]，dp[i][j] = dp[i-1][j-1]；当 word1[i] != word2[j]，dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + 1
  其中，dp[i-1][j-1] 表示替换操作，dp[i-1][j] 表示删除操作，dp[i][j-1] 表示插入操作。

得到

class Solution:
    def minDistance(self, word1: str, word2: str) -> int:
        n1, n2 = len(word1), len(word2)
        dp = [[0] * (n2+1) for _ in range(n1+1)]
        for j in range(1, n2+1):
            dp[0][j] = j
        for i in range(1, n1+1):
            dp[i][0] = i
        for i in range(1, n1+1):
            for j in range(1, n2+1):
                if word1[i-1] == word2[j-1]:
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1]
                else:
                    dp[i][j] = min(dp[i][j-1], dp[i-1][j], dp[i-1][j-1]) + 1
        return dp[-1][-1]

结语

关键还是dp的定义和转移方程