为了进一步提高差分进化（DE）最具竞争力的变体之一L-SHADE的性能，研究中提出了一种新的自适应L-SHADE算法AL-SHADE。对L-SHADE进行了两个主要部分的修改。一部分，在突变过程中添加了一种新的突变策略，以提高开发能力，充分利用种群信息。另一部分，提出了一种带有突变策略自适应方案的选择策略，以调整开发和探索。

2. 相关工作

最近，DE 仍然被选为开发新型进化算法的基础，特别是在连续优化领域[26]、[28]、[29]，尽管它在1995年被开发。L-SHADE [4] 被认为是过去几十年中DE最成功的变体之一，因为它是2014年IEEE进化计算竞赛（IEEE CEC 2014）的获胜者。在本节中，详细介绍了L-SHADE。

2.1. 初始化策略

种群中的初始个体（解向量）随机初始化，如公式(1)所示。

$$x_{i,j}^0=L_j+\text{rand}\cdot (U_j-L_j),i=1,2,3\cdots ,NP;j=1,2,3\cdots ,D\text{\hspace{1em}(1)}$$

其中 $\text{rand}$ 是0到1之间的均匀分布随机数。$L$ 和 $U$ 是定义搜索空间的问题特定上下界。$NP$ 是种群大小。$D$ 是问题特定的维度。

历史记忆 $M_{CR}$、$M_F$ 的值，其中包含交叉率 $CR$ 和缩放因子 $F$ 的条目，在初始化阶段初始化为0.5，如公式(2)所示。需要注意的是，$CR$ 和 $F$ 的所有元素都是0到1之间的标量，$H$ 是历史记忆的大小。此外，外部存档 $A$ 初始化为空，因为没有先前的劣解。

$$\{\begin{array}{l}{M}_{CR,k}=0.5\\ M_{F,k}=0.5\end{array},k=1,2,3\cdots ,H\text{\hspace{1em}(2)}$$

2.2. 变异策略

在L-SHADE中，采用变异策略current-to-pbest/1。为个体 $x_i$ 生成的变异向量 $v_i$ 使用种群中的四个向量（个体）生成，如公式(3)所示。缩放因子 $F_i$ 生成如公式(4)所示。

$$v_i=x_i+F_i\cdot (x_{\text{pbest}}-x_i)+F_i\cdot (x_{r1}-x_{r2})\text{\hspace{1em}(3)}$$
$$F_i=\text{randc}(M_{F,r3},0.1)\text{\hspace{1em}(4)}$$

在公式(3)中，$x_{\text{pbest}}$ 是当前种群中前 $NP\times p$ 个个体中随机选择的主导个体，$p$ 是贪婪控制参数，它在开发和探索（小 $p$ 行为更贪婪）之间进行权衡。$x_{r1}$ 是从当前种群中随机选择的，$x_{r2}$ 是从当前种群和外部存档的联合中随机选择的，并且 $x_{r1}$ 和 $x_{r2}$ 彼此不同以及与 $x_i$ 不同。在公式(4)中，$F_i$ 是一个遵循均值 $M_{F,r3}$ 和标准差值参数 0.1 的柯西分布的随机变量，$M_{F,r3}$ 是从具有相同索引 $r3$ 的记忆 $M_F$ 中随机选择的值。如果 $F_i>1$，则 $F_i$ 将设置为 1，如果 $F_i\le 0$，公式(4)将重复应用以生成有效值。此外，如果变异向量元素 $v_{i,j}$ 超出搜索范围 $[L_j,U_j]$，则采用修正策略，如公式(5)所示。

$$v_{i,j}=\{\begin{array}{ll}(L_j+x_{i,j})/2,& v_{i,j}<L_j\\ (U_j+x_{i,j})/2,& v_{i,j}>U_j\end{array}\text{\hspace{1em}(5)}$$

2.3. 交叉策略

在将变异策略应用于生成的变异向量 $v_i$ 后，生成试验向量 $u_i$，基于变异向量 $v_i$ 和原始向量 $x_i$，使用二项式交叉策略，如公式(6)所示。

$$u_{i,j}=\{\begin{array}{ll}{v}_{i,j},& r<C{R}_j\text{ 或 }j=j_{\text{rand}}\\ x_{i,j},& \text{否则}\end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$

在公式(6)中，$r\in (0,1)$ 是均匀分布的随机数，$j_{\text{rand}}\in [1,D]$ 是决策变量索引，它是随机生成的，并且可以确保至少从变异向量中取一个分量 $u_i$。个体 $x_i$ 的交叉率值 $C{R}_j$ 从高斯分布中给出，如公式(7)所示。如果公式(7)生成的 $C{R}_j$ 超出 $[0,1]$，则用生成值的极限值 $(0\text{ 或 }1)$ 替换。

$$C{R}_j=\{\begin{array}{ll}0,& M_{CR,r3}=\perp \\ \text{randn}(M_{CR,r3},0.1),& \text{否则}\end{array}\text{\hspace{1em}(7)}$$

在公式(7)中，$\perp$ 表示终端值。$M_{CR,r3}$ 是从具有相同索引 $r3$ 的交叉率历史记忆 $M_{CR}$ 中随机选择的均值参数，如缩放因子 $F$ 的情况，0.1 是标准差值参数。

2.4. 选择策略

在当前代 $g$ 生成所有试验向量 $u$ 后，基于目标函数值的选择操作应用于确定下一代 $g+1$ 的幸存者，如公式(8)所示。

$$x_i^{g+1}=\{\begin{array}{ll}{u}_i^g,& f(u_i^g)\le f(x_i^g)\\ x_i^g,& \text{否则}\end{array}\text{\hspace{1em}(8)}$$

在公式(8)中，$f$ 是问题特定的目标函数。

2.5. 外部存档和历史记忆更新策略

在L-SHADE中，采用外部存档 $A$ 以增强种群的多样性并避免过早收敛。如果父向量 $x_i^g$ 优于试验向量 $u_i^g$，则将其保留到下一代，否则将其保留到外部存档 $A$ 中。一旦存档的大小达到预定大小，随机选择一个元素被新插入的元素替换。$F_i$ 和 $C{R}_i$ 值成功生成试验个体，优于历史个体，则被视为成功值。所有成功的值分别保留到 $S_{CR}$ 和 $S_F$ 中，这些值用于在每一代结束时更新历史记忆 $M_{CR}$、$M_F$，如公式(9)-(10)所示。一对 $M_{CR}$ 和 $M_F$ 中的元素在一代中生成，索引 $k$ 从 1 开始并在每一代后增加 1，$k$ 将在超过内存大小 $H$ 时重置为 1。需要注意的是，如果 $S_{CR}$=$S_F$=0，即在一代中没有试验向量优于原始向量，则 $M_{CR}$、$M_F$ 将不会被更新。更重要的是，本文提出的AL-SHADE中的记忆 $M_{CR}$ 和 $M_F$ 的最后条目在优化过程中始终保留 0.9。换句话说，如果超过 $H-1$，则更新单元的索引 $k$ 将重置为 1。

$$M_{F,k}=\{\begin{array}{ll}{M}_{F,k},& S_F=\varnothing \\ {\text{mean}}_{WL}(S_F),& \text{否则}\end{array}\text{\hspace{1em}(9)}$$
$$M_{CR,k}=\{\begin{array}{ll}\perp ,& S_{CR}=\varnothing \\ {\text{mean}}_{WL}(S_{CR}),& \text{否则}\end{array}\text{\hspace{1em}(10)}$$

在公式(9)-(10)中，${\text{mean}}_{WL}(S)$ 是加权勒梅尔平均值，计算如公式(11)，(12)所示，其中 $S$ 表示 $S_{CR}$ 或 $S_F$。

$${\text{mean}}_{WL}(S)=\frac{{\sum }_{n=1}^{|S|}{\omega }_n\cdot S_n^2}{{\sum }_{n=1}^{|S|}{\omega }_n\cdot S_n}\text{\hspace{1em}(11)}$$
$${\omega }_n=\frac{|f(u_n)-f(x_n)|}{{\sum }_{n=1}^{|S|}|f(u_n)-f(x_n)|}\text{\hspace{1em}(12)}$$

2.6. 线性种群规模缩减

在L-SHADE中，采用线性种群规模缩减（LPSR）动态调整种群规模，即种群规模在代 1 和 $G$（终止迭代次数）时连续减少以匹配线性函数，其中种群规模在代 1 和 $G$ 时分别为 $N_{\min }$ 和 $N_{\max }$。种群规模在代 $g+1$ 更新如公式(13)所示。

$$N{P}_{g+1}=\text{round}\left[\frac{F{E}_s}{F{E}_{\max }}(N_{\min }-N_{\text{init}})+N_{\text{init}}\right]\text{\hspace{1em}(13)}$$

在公式(13)中，$\text{round}()$ 返回最接近的整数。$F{E}_s$ 是当前目标函数评估次数，$F{E}_{\max }$ 是目标函数评估的最大次数。在代 $g$ 结束时，$N{P}_g-N{P}_{g+1}$ 最差个体将从当前种群中丢弃。

3. 提出的AL-SHADE算法

在本节中，描述了L-SHADE的新变体，命名为AL-SHADE。对L-SHADE的改进策略主要包括两个部分。一方面，在变异过程中添加了一种新的变异策略current-to-Amean/1。另一方面，采用了一种具有变异策略适应方案的选择策略。AL-SHADE在本节中详细描述。

3.1. 基于加权均值的变异策略

变异策略current-to-pbest/1已被证明是一种有效的变异策略，可以有效加速基于DE算法的收敛速度，并且与变异策略current-to-best/1相比，它也可以在一定程度上避免陷入局部最优。然而，随着种群的减少，当前种群中前 $NP\times p$ 个个体的数量减少。在优化过程的后期，$x_{\text{pbest}}$ 接近 $x_{\text{best}}$，甚至 $x_{\text{best}}$ 是 $x_{\text{best}}$，这将导致陷入局部最优。此外，这些在L-SHADE中代 $g$ 被保留在 $A$ 中的个体是主导个体，它们在代 $g$ 中被消除。外部存档 $A$ 中的少数个体被随机选为 $x_{l2}$ 用于公式(3)中的变异，这并没有充分利用优化过程中的群体信息。为了解决上述缺点，本工作中提出了一种新的变异策略，命名为current-to-Amean/1，如公式(14)所示。

$$v_i=x_i+F_i(x_{\text{Amean}}-x_i)+F_i(x_{r1}-x_{r2})\text{\hspace{1em}(14)}$$

在公式(14)中，$x_{\text{Amean}}$ 是基于外部存档 $A$ 中有希望的个体估计的全局最优解，这将避免陷入局部最优。$x_{\text{Amean}}$ 是通过使用公式(15)计算的。

$$x_{\text{Amean}}=\sum _{i=1}^m{w}_i\cdot x_i\text{\hspace{1em}(15)}$$
$$w_i=\frac{\ln (m+1/2)-\ln (i)}{{\sum }_{i=1}^m(\ln (m+1/2)-\ln (i))}\text{\hspace{1em}(16)}$$
$$m=\text{round}(e\cdot |A|)\text{\hspace{1em}(17)}$$

在公式(15)-(17)中，从外部存档 $A$ 中选择适应度更好的 $m$ 个个体作为有希望的种群，用于计算加权均值 $x_{\text{Amean}}$，$w_i$ 是通过公式(16)计算的 $x_i$ 的权重，$x_1,x_2,x_3,\dots ,x_m$ 是目标函数值从高到低排列的 $m$ 个有希望的个体，即 $x_1$ 是最好的，$x_m$ 是 $x_1,x_2,x_3,\dots ,x_m$ 中最差的，$|A|$ 是外部存档 $A$ 中的个体数量，$e(0,1)$ 是精英因子参数。

此外，AL-SHADE中外部存档 $A$ 的更新机制进行了调整，以充分利用新生成的主导个体，而不是以前的主导个体，即优于父向量的试验向量将被保留到下一代和外部存档 $A$ 中。由于 $A$ 中的个体在第一代中使用，$A$ 不再初始化为空集，而是保存初始化生成的最佳个体。

3.2. 具有适应方案的选择策略

注意到新的变异策略current-to-Amean/1被添加为变异策略之一，而不是直接替换变异策略current-to-pbest/1，因为公式(3)和公式(14)在优化的不同阶段扮演不同的角色。有效地整合两种变异策略以充分利用它们的优势至关重要。因此，本节提出了具有适应方案的选择策略，以有效地整合两种变异策略。采用自适应概率参数 $P_s$ 来选择公式(3)或公式(14)，每个个体在每一代中都有一定的概率。由于没有先验知识，$P_s$ 初始化为0.5，并在搜索过程中根据公式(18)自适应调整。

$$P_s^{g+1}=P_s^g+\frac{0.05(1-P_s^g)(P_1-P_2)\cdot F{E}_s}{\text{Max}\cdot F{E}_s}\text{\hspace{1em}(18)}$$
$$P_1=\frac{M_{1,\text{better}}}{M_1}\text{\hspace{1em}(19)}$$
$$P_2=\frac{M_{2,\text{better}}}{M_2}\text{\hspace{1em}(20)}$$

在公式(18)-(20)中，$M_1$ 和 $M_2$ 分别是使用公式(3)和公式(14)作为变异策略的个体数量。$M_{1,\text{better}}$ 和 $M_{2,\text{better}}$ 是使用公式(3)和公式(14)作为变异策略生成的更好个体的数量。因此，$P_1$ 和 $P_2$ 分别是使用公式(3)和公式(14)作为变异策略在第 $g$ 代生成更好解的概率。此外，如果 $P_s^{g+1}$ 超出 [0.1,0.9]，则它将被替换为最接近生成值的极限值（0.1 或 0.9）。

3.3. AL-SHADE的框架

总之，所提算法的流程图如图2所示。AL-SHADE与LSHADE的主要区别包括新的变异策略、具有适应方案的选择策略以及外部存档 $A$ 的更新机制。对于每个解，如果随机数 $\text{rand}<P_s$，则选择公式(3)生成变异向量 $v$，反之则选择公式(14)。

参考文献

Yintong Li, Tong Han, Huan Zhou, Shangqin Tang, Hui Zhao, A novel adaptive L-SHADE algorithm and its application in UAV swarm resource configuration problem, Information Sciences. 606 (2022) 350–367. https://doi.org/10.1016/j.ins.2022.05.058