提出了一种受混沌动力学启发的新颖的基于种群的元启发式算法，称为混沌进化优化（CEO）。CEO的主要灵感来自二维离散忆阻映射的混沌进化过程。通过利用忆阻映射的超混沌特性，对CEO算法进行数学建模，引入进化过程的随机搜索方向。该算法于2025年3月最新发表在中科院1区SCI期刊 Chaos, Solitons & Fractals。（if=5.3）

混沌进化优化（CEO）

对所提出的CEO算法进行了数学建模。CEO的整体框架类似于DE算法，包括变异、交叉和选择操作。关键区别在于变异算子的设计，其中CEO采用二维离散忆阻超混沌映射来为每个个体提供变异方向。

3.1 变异操作

CEO 作为一种基于种群的进化算法，利用以下统一搜索框架作为其变异操作符：

$$x_{t+1}=x_t+a\cdot d_t$$

其中$x_t$ 和$x_{t+1}$ 分别是当前个体和变异个体；a 是搜索步长，$d_t$是进化方向，生成自动态映射公式（Eq. 2）。

CEO 的主要思想是利用二维记忆混沌超高效映射的超混沌特性，如公式（Eq. 2）所示，用来为种群提供进化方向。需要强调的是，为了使得所提出的 CEO 算法能够有效利用 Eq. 2 的超混沌特性，CEO 中选出的两个个体$x_t$ 和 $y_t$ 必须映射到$[-0.5,0.5]$和$[-0.25,0.25]$范围内，如 Eq.（4）所示。

$$x^{\prime }=\frac{x-lb}{ub-lb}-0.5$$

$$y^{\prime }=\frac{y-lb}{ub-lb}-0.25$$

其中$x^{\prime }$ 和$y^{\prime }$ 是映射后的混沌位置，值分别在$[-0.5,0.5]$和$[-0.25,0.25]$区间内；$lb$ 和$ub$是当前种群变量的下界和上界。

N 个混沌候选个体$x_{chaos}$和$y_{chaos}$ 可以通过应用公式 Eq.（2）生成，具体伪代码如下：

1: 对于$n=1$ 到N做
$$x_{chaos}(n)\leftarrow k\cdot e^{-\cos n\pi }-1\cdot x_t$$
$$y_{chaos}(n)\leftarrow y_t^{\prime }+x_t$$
2: 结束

在上述伪代码中，N 代表混沌样本的数量。因此，通过应用公式（Eq. 2），可以生成 N 个混沌候选个体$x_{chaos}=x_{chaos1}\dots x_{chaosN}和y_{chaos}=y_{chaos1}\dots y_{chaosN}$，这些混沌个体可以被映射回实际位置$x_{chao{s}^{\prime }}=x_{chaos{1}^{\prime }}\dots x_{chaos{N}^{\prime }}和y_{chao{s}^{\prime }}=y_{chaos{1}^{\prime }}\dots y_{chaos{N}^{\prime }}$，如 Eq.（5）所示。
$$x_{chao{s}^{\prime }}=x_{chaos}^{\ast }\cdot 0.5\cdot ub-lb+lb$$
$$y_{chao{s}^{\prime }}=y_{chaos}^{\ast }\cdot 0.25\cdot 2\cdot ub-lb+lb$$

显然，基于$x_{chao{s}^{\prime }}$ 和$y_{chao{s}^{\prime }}$，可以生成 N 个进化方向，分别用于个体$x_t$ 和 $y_t$，如公式（6）所示：
$$d_{x_t}^n=x_{chao{s}^{\prime }}^n-x_t$$
$$d_{y_t}^n=y_{chao{s}^{\prime }}^n-y_t$$

其中KaTeX parse error: Can't use function '\)' in math mode at position 16: n = 12 \dots N \̲)̲；\( d_{x_t}^n 和…是$x_t$和$y_t$的进化方向。综上所述，通过结合公式（3）、（6），CEO 的变异操作符可以通过公式（7）推导出：

$$x_{t+1}=x_t+a\cdot x_{chao{s}^{\prime }}^n-x_t$$

$$y_{t+1}=y_t+a\cdot y_{chao{s}^{\prime }}^n-y_t$$

其中，a 是搜索步长，亦称为缩放因子，它是一个位于区间 [0, 1] 内的随机数。显然，可以为个体$x_t和y_t$ 生成 N 个变异个体。

可以看出，公式（7）具有强大的全局探索能力，但这可能导致算法收敛速度较慢。因此，为了进一步提高算法的局部开发能力，公式（8）用于在当前种群中搜索最佳解，以加快算法的收敛速度。

$$x_{t+1}=Bes{t}_t+a\cdot x_{chao{s}^{\prime }}^n-x_t$$

$$y_{t+1}=Bes{t}_t+a\cdot y_{chao{s}^{\prime }}^n-y_t$$

其中$Bes{t}_t$是当前种群的最佳解。

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3.2 交叉操作

变异之后，CEO 采用一个二项交叉操作符作用于$x_t^{p+1}和y_t^{p+1}$，分别生成试验向量$x_{trial}^n=x_{trial1},x_{trial2},\dots ,x_{trialn}和y_{trial}^n=y_{trial1},y_{trial2},\dots ,y_{trialn}$，具体交叉过程如下：

$$x_{trial}^n=\{\begin{array}{l}{x}_t^n+r,\text{if}rand\le C_r\\ x_t^{rand},\text{otherwise}\end{array}$$

其中，Dim 是优化问题的维度，j 是在 [1, Dim]区间内随机选择的整数，r 是每次为每个生成的随机数。$C_r$是交叉控制参数，在 CEO 中，每次迭代中，$C_r$ 值为在区间 [0, 1] 内的随机数。

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3.3 选择操作

对于$x_t和y_t$，可以生成试验向量$x_{trial}^n和y_{trial}^n$。CEO 采用贪心准则选择生成的实验向量。选择操作符如下所示：

$$x_{t+1}=\{\begin{array}{l}{x}_{trial},\text{if}f(x_{trial})\le f(x_t)\\ x_t,\text{otherwise}\end{array}$$

$$y_{t+1}=\{\begin{array}{l}{y}_{trial},\text{if}f(y_{trial})\le f(y_t)\\ y_t,\text{otherwise}\end{array}$$

其中$x_{trial}^n和y_{trial}^n$是试验向量的最佳解。

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完整代码领取：
https://github.com/Running-Wolf1010/CEO