一种改进的DBSCAN算法

1 前言

改进了传统的DBSCAN算法，算法的时间复杂度从$O(n^2)$降低到了$O(n+m\ast k^2)$

2 传统的DBSCAN算法

如下表所示，给出了一些关于DBSCAN算法的相关定义
其中，密度可达可用以下公式表示

根据以上定义，DBSCAN的集群发现过程首先需要从数据集$D$中找到一个点$p$并对其进行检查。如果点$p$是一个核心点，即点$p$的$Eps$邻域内的点个数大于等于$MinPts$，那么在接下来的过程中，点$p$的$Eps$邻域内的点将依次被检查为种子点，即连续查询种子点。如果当前种子点也是核心点，则将其$Eps$邻域内的点放入种子集。这样，当前类中的数据点就会被不断地扩展，直到找到一个完整的类。如果$p$是一个边界点，这意味着点$p$的$Eps$邻域内的点数小于$MinPts$，因此算法会选择数据集$D$中的下一个点进行检查。其余未被划分成任何簇的点将被标记为噪声点。

3 改进的DBSCAN算法

改进的DBSCAN算法采用广度优先搜索连接多个网格单元，采用贪婪算法的增长模式形成聚类。

3.1 相关定义

以下为改进DBSCAN算法的一些定义：

定义1 ：网格单元

设置一个划分参数$\epsilon$，将每一个维度的数据空间划分为相同长度的区域，从而将整个二维数据空间划分若干个边长为$\epsilon$的网格单元。如果最后一个网格单元的边长小于$\epsilon$，但为了确保计算的准确性和一致性，我们仍设置最后一个网格单元的边长为$\epsilon$。下图中橙色的部分代表了一个网格单元。

定义2：$k$邻接网格集

$cell$是一个网格单元格。一个矩形区域可以通过在$cell$的上下左右四个方向上加$k$个边长（即$k\ast \epsilon$的长度）来扩展，$k$邻接网格集定义为该矩形区域所包含的网格集，用$Ncell$表示，如下图绿色区域所示，表示了定义1中$cell$的1邻接网格集。

定义3：$Eps$矩形区域
$cell$是一个网格单元格。在$cell$的4个顶点处画4个圆心，半径为$Eps$。$cell$的$Eps$矩形区域定义为该区域由能够覆盖上述4个圆区域的$k$邻接网格集组成。

3.2 改进DBSCAN算法的主要思想

将$cell$的边长$Lpg$设为$Eps/p$，便于根据上述定义计算$cell$的$Eps$矩形区域。显然，$cell$的$Eps$矩形区域是由$cell$的$p$邻接网格集组成的区域。当$p⩾1$时，矩形区域的边长为$(2p+1)\ast Lpg$；当$p<1$时，$cell$的$Eps$矩形区域是由$cell$的1邻接网格集组成的区域，边长为$3\ast Lpg$。

$cell$中$p=1$的$Eps$矩形区域如下图中蓝色区域所示。从图中可以看出，当$cell$的$Eps$矩形区域内的点数小于$MinPts$时，$cell$中的任意一点都不可能是核心点。只需计算$cell$中的种子点与$cell$矩形区域内的点之间的距离，即可判断种子点是否为核心点。大大减少了点对点距离的计算。

基于网格单元的DBSCAN算法包括以下步骤:

1.将数据空间划分为几个网格单元

2.建立数据点到网格单元的映射关系

3.使用广度优先搜索生成集群。这一步表明搜索点$p$的邻域范围正在缩小。具体程序如下:

​ a）将第一个（下一个）标记为未读的点放入队列中作为种子点，直到所有点都标记为已读再结束；

​ b）取队列头上的点来执行区域查询，并将该点标记为已读，如果队列为空，则执行步骤a)；

​ c）如果在$Eps$矩形区域内点的数量大于或等于$MinPts$，然后测试$Eps$矩形区域内的点到种子点的距离小于等于$Eps$的点个数是否大于等于$MinPts$，如果测试结果是真的，种子点是一个核心点，并将其$Eps$邻近的点作为种子点放入队列中；如果测试结果是假的，将其恢复为未读。如果$Eps$矩形区域内的点数小于$MinPts$，立即将种子点恢复为未读；

​ d）重复执行步骤b)，c)。

核心点的判断方法在上面有详细的介绍，利用欧几里德距离公式计算两个$t$维空间点之间的距离，公式如下：

4 时间复杂度分析

4.1 DBSCAN

因为每次查询都返回该区域内的所有对象，时间复杂度为$O(n^2)$，因此DBSCAN算法的时间开销很大。此外，所有的数据都应该保存在内存中，它需要大的内存和大的I/O消耗。

4.2 改进的DBSCAN

本文提出的方法针对二维数据，算法包括3个步骤:

第1步，将数据空间划分为网格单元，需要计算每个维度数据空间的最大值和最小值，时间复杂度为$O(n)$；

第2步，算法在建立数据点到网格单元的映射关系时，需要遍历$n$个数据集，因此时间复杂度为$O(n)$；

第3步，利用广度优先搜索生成集群，将种子点的检查线程化为广度优先搜索过程，时间复杂度为$O(n+me)$。$m$为扩展点个数，$e$为计算格单元边长$Lpg=Eps/p$时，在$(2k+1{)}^2$个网格内计算点数$s$并进行相应操作的时间，所以$e$的时间复杂度是$O(k^2)$，如果$p>1$，$k=p$；如果$p<1$，$k=1$。最终整个算法的时间复杂度为$O(n+m{k}^2)$，显然，当$m$和$k$的值变小时，时间复杂度会降低。

当数据空间出现一个或多个聚类，并且$p<1$，$k=1$的情况，尽管$k$足够小，$Eps$矩形区域的点数也会随着网格单元的增大而显著增加，很明显，这里的时间复杂度大于$p=1$时的复杂度。当$p⩾1$时，$k=p$，$Eps$矩形区域减小，但随着$k$的增大，$k^2$明显增大。对于哪一种情况的产生的更显著取决于聚类的属性。

[参考文献]
[1] Meng’Ao L, Dongxue M, Songyuan G, et al. Research and improvement of DBSCAN cluster algorithm[C]. 2015 7th International Conference on Information Technology in Medicine and Education (ITME). IEEE, 2015: 537-540.