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题目

一个整数，它加上100后是一个完全平方数，再加上168又是一个完全平方数，请问该数是多少？

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思路

设这个整数为 $x$;

• 加上100是完全平方数：$x+100=m^2$;
• 再加上168又是完全平方数：$x+100+168=n^2$;
• 两式合并：$n^2-m^2=168$;
• 解方程：$n^2-m^2=(n+m)(n-m)=168$;
• 设置 $i,j$：$i=n+m,j=n-m$; 则 $i\ast j=168$;
• 代入可得：$n=(i+j)/2,m=(i-j)/2$;
  
  
• 由$n,m$都是整数可知：$i,j$ 都是整数;
• 由$n,m$都是正数(完全平方根)且 $m<n$ 可知：$i>j>0$;
  
  
• 关于$i,j$的奇偶性：
  • $i+j=(n+m)+(n-m)=2n$ => 偶数
  • $i-j=(n+m)-(n-m)=2m$ => 偶数
  • 可得：$i,j$同奇同偶;
  • 根据 $i\ast j=168$ 可知：$i,j$同为偶数;
    
    
• 确定范围:
  • 由 (1) $i\ast j=168$, (2) $i,j$同为偶数, (3) $i>j>0$ 可知：$j>=2$, 且 $i=168/j<=168/2=84$;
  • 故范围为：$2<=i<=84,j>=2$;
    
    
• 由 $i,j$ 的值往回退找到 $x$：
  • 由 $n=(i+j)/2,m=(i-j)/2$, 可知 $x=m^2-100$;

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代码

#include <stdio.h>

int main(){
    int x;
    int m, n;
    int i, j;
    int count=0;

    for(i=2; i<=84; i=i+2){ // i是从2开始的偶数
        if(168%i == 0){ // i能够被168整除(根据i*j=168)
            j = 168/i;
            if(j>=2 && i>j && (i+j)%2==0){
                // 计算m,n
                m = (i-j) / 2;
                n = (i+j) / 2;
                //计算x
                x = m*m - 100;
                count++;
                printf("第%d个数是：%d \n", count, x);
                printf("%d + 100 = %d * %d \n", x, m, m);
                printf("%d + 100 + 168 = %d * %d \n", x, n, n);
                printf("\n");
            }
        }
    }

    return 0;
}

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输出结果

第1个数是：-99 
-99 + 100 = 1 * 1 
-99 + 100 + 168 = 13 * 13 

第2个数是：21 
21 + 100 = 11 * 11 
21 + 100 + 168 = 17 * 17 

第3个数是：261 
261 + 100 = 19 * 19 
261 + 100 + 168 = 23 * 23 

第4个数是：1581 
1581 + 100 = 41 * 41 
1581 + 100 + 168 = 43 * 43 

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# 一个暴力遍历x的方法

思路

• 设这个数是x;

• 在x的取值范围中遍历，判断每一个x是不是符合条件;

• 难点是要确定x的范围;
  
  

• 由题可知：$x+100=m^2,x+100+168=n^2$;

• 由 $x+100=m^2$ 可知：$x>=-100$;

• $n^2-m^2=168$, 当m增大时，n也增大，n和m越来越接近;
  
  

• 找出最大的m：

  • 设 n = m + 1; (这是n比m大的最小整数差)
  • 那么 $(m+1{)}^2-m^2=168$;
  • 计算得：m = 83.5;
  • 所以在 m>83 的时候，不管 n 取多少，都不能满足 $n^2-m^2=168$;
    • 解释：当 m=84 时，n=85，$n^2-m^2=169$，大于168;
    • 所以，其他的 n 的取值都不会再满足 $n^2-m^2=168$;
  • 最终取得最大的 m 为 83;
    
    

• 根据最大的 m，可以找到 x 的上界：

  • 当 $m=84 时， $x=84\ast 84-100=6956$;
    
    

• 最终得到x的范围是[-100, 6956];

代码

#include <stdio.h>
#include <math.h> // 包含头文件math.h，里面有sqrt()函数

int main(){
    int x;
    int count = 0;

    for(x=-100; x<=6956; x++){
        int m = sqrt(x + 100); // 计算x + 100的平方根m
        int n = sqrt(x + 100 + 168); // 计算x + 100 + 168的平方根n
        // sqrt()函数返回一个double型的平方根;
        // 在这里强制转换为int类型，出现截断取整;
        // 只有正好是整数的平方根没有变化，在后面的判断中可以返回计算出正确的数值;

        // 检查判断是否是完全平方
        if(m*m == x + 100 && n*n == x + 100 + 168){
            count++;
            printf("第%d个数是：%d \n", count, x);
            printf("%d + 100 = %d * %d \n", x, m, m);
            printf("%d + 100 + 168 = %d * %d \n", x, n, n);
            printf("\n");
        }
    }

    return 0;
}

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# 一个遍历m的方法（遍历效率高一点）

思路

• 设这个数是x;

• 设 $x+100=m^2,x+100+168=n^2$;

• 因为是完全平方数，所以必须满足 n>m>0;
  
  

• 找出最大的m：

  • 设n = m + 1; (这是n比m大的最小整数差)
  • 那么 $(m+1{)}^2-m^2=168$;
  • 计算得：m = 83.5;
  • 所以在 m>83 的时候，不管n取多少，都不能满足 $n^2-m^2=168$;
    • 解释：当 $m=84$ 时，$n=85，n^2-m^2=169$，大于168;
    • 所以，其他的n的取值都不会再满足 $n^2-m^2=168$;

• 最终取得最大的m为83;
  
  

• 故m的取值范围是[0,83];
  
  

• 通过遍历m，然后计算n并取平方根作比较来判断x是否满足条件;

代码

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main(){
    int x;
    int m, n;
    int count = 0;

    for(m=0; m<84; m++){
        int temp = m*m + 168; // n^2 = m^2 + 168
        int n = sqrt(m*m + 168); // 计算n的平方根
        
        if(n*n == temp){ // 判断是否为完全平方
            count++;
            x = m*m - 100;
            printf("第%d个数是：%d \n", count, x);
            printf("%d + 100 = %d * %d \n", x, m, m);
            printf("%d + 100 + 168 = %d * %d \n", x, n, n);
            printf("\n");
        }
    }

    return 0;
}